中3数学 『関数』

質問

放物線y=x(2乗)と直線y=x+3の交点をA,Bとする。放物線y=x(2乗)上に原点Oと異なる点Pをとり、△OABの面積と△PABの面積が等しくなるようにしたい。このような点Pの座標をすべて求めなさい。

この問題の解説をお願いします！！
原点を通って、y=x+3と平行な直線を引いて等積変形するんですよね・・・。
そこからがいまいちわかりません。

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

あ～～っ！ また、やってしまった (;_;）

No.1 さんの答えを見ると、確かに 底辺 AB で
高さが三角形OAB と同じ 三角形 PAB は
AB に対し、反対側にもあるのですね！

～～～～～～～～～～～～～～～～～～

△OAB と △PAB は 辺 AB　が共通なので、
面積が等しいということは高さが等しいということで、
OP は AB と平行、
点P は （１） y = x あるいは （２） y ＝ x ＋ 6
上の点となります

（１） 点 P を （a, a）　と置くと、
　点 P は放物線上にあるので、a ＝ a^2
　a^2 － a ＝ 0
　a（a － 1） ＝ 1
　点 P は原点 O と異なる点なので、a ＝ 1
　点 P は （1, 1）

（２） 点 P を （a, a ＋ 6） と置くと
　a ＋ 6 ＝ a^2
　a^2 － a － 6 ＝ 0
　（a － 3）（a ＋ 2） ＝ 0
　a ＝ －2 あるいは 3
　点P は （－2, 4） あるいは （3, 9）

【答え 】　点 P は （－2, 4）、（1, 1）、（3, 9）

お礼

わざわざ図まで書いてくださってわかりやすくて助かりました・・・
本当にありがとうございます！

回答No.4

kkanrei

No.3です。No.2方の回答が中学数学の解答に近いと思います。
しかし、ｙ＝ｘ上だけでなくｙ＝5ｘ上の点も原点と高さが同じになる。
つまり、点Pを（ｐ、5P）と置いて、あとNo2の方と同じやり方で解くと、もう1点、三角形の面積が同じ点が出てくるはずです。

回答No.3

kkanrei

具体的な計算を示す時間がないので計算方法だけ示します。
1.交点Ａ，Ｂの座標を求める。
　　連立方程式　ｙ＝ｘ＾2
　　　　　　　　ｙ＝ｘ+3
　　　を解く。
　　つまり
　　　　ｘ＾2＝ｘ+3　　ｘ＾2－ｘ-3＝0が成立するｘを求めて（2つある）、ｙ＝ｘ＾2（ないしｙ＝ｘ+3
　　　　　　　　　　　　よりｙを求めれば交点の座標を求めることができる。
2.三角形ＯＡＢの面積を求める。
3.点Ｐはｙ＝ｘ＾2上にあるから、点Ｐのｘ座標をｐとすると点Ｐの座標を（ｐ、ｐ＾2）とおける。
4.三角形ＰＡＢの面積を表わす方程式を立てる。
5.4の方程式が三角形ＯＡＢの面積と等しくなることを利用してｐの値を求める。

三点の座標から三角形の面積を求める公式もたくさんネットで紹介されているから、利用するといいと思います。

お礼

お時間がないのにここまでやり方を記載していただいて本当にありがとうございます！！
3点の座標から三角形の面積を求める公式はほかの方が回答していただけたので今回はそちらを参考にさせていただきます！

回答No.2

shuu_01

△OAB と △PAB は 辺 AB　が共通なので、
面積が等しいということは高さが等しいということで、
OP は AB と平行、点P は y = x 上の点となります

そこで、点 P を （a, a）　と置くと、

点 P は放物線上にあるので、a ＝ a^2

a^2 － a ＝ 0

a（a － 1） ＝ 1

点 P は原点 O と異なる点なので、a ＝ 1

点 P は （1, 1）

【答え 】　点 P は （1, 1）

回答No.1

Lady_osaka

というか、原点をとおってy=x+3と平行な線は
まあ書いてもいいのですが要はy=x+3と原点との
距とが同じ直線であればその線の上にあるすべての
点と点A点Bからなる三角形は底辺と高さ場等しいので
同じ面積になるということです。
というわけで、原点と反対側に原点とy=x+3との距離と
同じ距離になる直線を引きます。
平行線と直線の関係からy=x+3上の点(0,3)と原点の
関係は求める直線のｙ切片と同じになるので
y切片は(0,6)です。
ということでそこを通る直線でy=x+3に平行な直線は
y=x+6となります。
この直線とy=x^2との交点が求める答えです。
代入して
x^2-x-6=0
(x-3)(x+2)=0
x=3,-2
よって
(3,9)、(-2,4)
以上

お礼

は、反対側・・・・!
全く見落としておりました！！
やり方も丁寧にありがとうございます、大変参考になりました！