数学の質問です。

質問

数学の平方の差の素因数分解の問題です。この問題の解き方をくわしく教えて下さい。
1) Xの８乗－１
2)８Xの２乗－1/8の２乗
3)９Aの２乗－(２A－１)の２乗
4)(X－２Y)の３乗－Xの２乗(X-２Y)
5)－４(２X－Y)の２乗＋９(３A＋Y)の２乗
少し多いですが、回答よろしくお願いします。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

質問者さんの問題の書き方は数学的に統一が取れていなく問題があります。
つまり、回答者により問題の式が異なった式と受け取られ、その結果、解答が複数通り出てしまいます。

1) Xの８乗－１
(x^8)-1
の意味で
x^8-1
とお書きなら、(a^3)-1=(a-1)((a^2)+a+1) の公式を使って
x^8-1=((x^2)-1)((x^4)+(x^2)+1)=(x+1)(x-1)((x^4)+2(x^2)+1-x^2)
=(x+1)(x-1)((((x^2)+1)^2)-x^2)
(a^2)-b^2=(a+b)(a-b)の公式を使って
=(x+1)(x-1)((x^2)+1+x)((x^2)+1-x)
=(x+1)(x-1)((x^2)+x+1)((x^2)-x+1)
書き方に誤解をされない場合に限って
=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)
と書いたりします。

2)８Xの２乗－1/8の２乗
この書き方は問題があります。
通常の数学的な解釈では
8(x^2)-(1/8^2) または 8(x^2)-(1/8)^2
の意味となります。
でも、これでは因数分解が有理数の範囲ではこれ以上できません。
無理数（（√2）のような数）が係数にでてきても許容する因数分解なら因数分解は可能です。でも通常の因数分解の問題では（特に指定がなければ）有理数係数の範囲での因数分解にとどめるのが暗黙の了解事項です。
なので、因数分解の問題としては問題作成者の意図からすれば
((8x)^2)-(1/8)^2
としたいところです。
この場合は
((8x)^2)-(1/8)^2=(8x-(1/8))(8x+(1/8))=(64x-1)(64x+1)/64
と因数分解できます（有理係数の範囲で因数分解ができる）。

3)９Aの２乗－(２A－１)の２乗
この式の書き方も数学的には次の２通りに解釈されます。回答者に正しい式が伝わるような書き方をしないと式を誤解され解答が２通りに分かれる原因となります。

(９A)^2－(２A－１)^2
９(A^2)－(２A－１)^2
の２通りの式の解釈がされる恐れがある。

前者の場合の因数分解
(９A)^2－(２A－１)^2=(9A-2A+1)(9A+2A-1)=(7A+1)(11A-1)

後者の場合の場合の因数分解
９(A^2)－(２A－１)^2=(3A-2A+1)(3A+2A-1)=(A+1)(5A-1)

4)(X－２Y)の３乗－Xの２乗(X-２Y)
これは
「(X－２Y)の３乗－（Xの２乗)(X-２Y)」
と書くべきです。
((X－２Y)^3)－(X^2)(X-２Y)=(X-2Y)((X-2Y)^2-X^2)
=(X-2Y)(X-2Y-X)(X-2Y+X)
=-2Y(X-2Y)(2X-2Y)
=-4Y(X-2Y)(X-Y)

5)－４(２X－Y)の２乗＋９(３A＋Y)の２乗
この式も数学的に回答者に式が正しく伝わらない恐れのある式の書き方です。
式の解釈として次の２通りが考えられます。

－４((２X－Y)^2)＋９(３A＋Y)^2
－((４(２X－Y))^2)＋((９(３A＋Y))^2)

前者の場合の因数分解
９((３A＋Y)^2)－４((２X－Y)^2)
=(3(3A+Y)-2(2X-Y))(3(3A+Y)+2(2X-Y))
=(9A-4X+5Y)(9A+4X+Y)

後者の場合の因数分解
((9(３A＋Y))^2)－((4(２X－Y))^2)
=(9(3A+Y)-4(2X-Y))(9(3A+Y)+4(2X-Y))
=(27A-8X+13Y)(27A+8X+5Y)

(注意)　式の指数部（べき乗）がどの範囲までなのか、誤解を生まないようにしましょう。
手書きの場合は、べき乗（指数部）が右上の肩に小さく書きますので、式が誤ってとられる可能性が少なくなると思います。

お礼

次に質問するときは数学的に統一した質問をするようにします。
回答ありがとうございました。

回答No.2

jcpmutura

1)
X^8-1
=(X^4)^2-1
=(X^4-1)(X^4+1)
={(X^2)^2-1}(X^4+1)
=(X^2-1)(X^2+1)(X^4+1)
=(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^4+1)
=(X-1)(X+1)(X^2+1){(X^2+1)^2-2x^2}
=(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2+1-X√2)(X^2+1+X√2)
=(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2-X√2+1)(X^2+X√2+1)

2)
8X^2-1/8^2
=(2X√2)^2-1/8^2
=(2X√2-1/8)(2X√2+1/8)

3)
9A^2-(2A-1)^2
=(3A)^2-(2A-1)^2
={3A-(2A-1)}(3A+2A-1)
=(A-1)(5A+1)

4)
(X-2Y)^3-X^2(X-2Y)
=(X-2Y){(X-2Y)^2-X^2}
=(X-2Y)(X-2Y-X)(X-2Y+X)
=(X-2Y)(-2Y)(2X-2Y)
=(X-2Y)(2Y)(2Y-2X)
=(X-2Y)(2Y)2(Y-X)
=4Y(X-2Y)(Y-X)

5)
-4(2X-Y)^2+9(3A+Y)^2
=9(3A+Y)^2-4(2X-Y)^2
={3(3A+Y)}^2-{2(2X-Y)}^2
={3(3A+Y)-2(2X-Y)}{3(3A+Y)+2(2X-Y)}
=(9A+3Y-4X+2Y)(9A+3Y+4X-2Y)
=(5Y-4X+9A)(4X+Y+9A)

お礼

くわしい説明ありがとうございました。わかりやすかったです。
回答ありがとうございました。

回答No.1

bran111

1) Xの８乗－１=(x-1)(x^2+x+1) これは丸暗記すべき公式
2)８Xの２乗－1/8の２乗=(８X－1/8)(８X+1/8) a^2-b^2の公式なんか覚えろよ
3)９Aの２乗－(２A－１)の２乗=[９A-(2A-1)][(９A+(2A-1)]=(7A+1)(11A-1) 同上
4)(X－２Y)の３乗－Xの２乗(X-２Y)=(X－２Y)[(X－２Y)^2-X^2]=(X－２Y)[-4XY+4Y^2]
=-4Y(X-2Y)(X-Y)
5)－４(２X－Y)の２乗＋９(３A＋Y)の２乗=９(３A＋Y)の２乗－４(２X－Y)の２乗
=[3(３A＋Y)-2(２X－Y)][3(３A＋Y)+2(２X－Y)]=(9A+5Y-4X)(9A+Y+4X)
=-(4X-5Y-9A)(4X+Y+9A)

お礼

公式を暗記するように頑張ります。
回答ありがとうございました。