数学IAの２次関数について

質問

「２次関数y=-4x二乗+4(a-1)x-2a二乗のグラフの頂点はある放物線上にある。その放物線の式を求めよ。」
という問題に関して、質問があるのですが、
この２次関数のグラフの頂点の座標は
（２分のa-1 , -a二乗-2a＋1）
X＝２分のa-1 , Y＝-a二乗-2a＋1とおいて、aを消去すると
Y＝-(2X+1)二乗-2(2X+1)+1
＝-4X二乗-8X-2
よって、求める放物線の式は
Y＝-4X二乗-8X-2
と解説には書いてありました。

でも、Y＝-(2X+1)二乗-2(2X+1)+1
の箇所がよくわからなかったんです。
そもそも、この式はどの式を元にしているのでしょうか？
そして、何を代入しているのでしょうか？
あと、なぜaを消去するのでしょうか？
数学初心者ですが、よろしくお願い致します。

回答No.2

mgsinx · ベストアンサー

2次関数の頂点を求めるには平方完成という操作を行います。
簡単に言えば、何かの2乗の式を作ることです。
y=-4x二乗+4(a-1)x-2a　←平方完成をすると…
=-4{x-(a-1)/2}^2-a^2-2a+1　となります。
よって頂点の座標は((a-1)/2,-a^2-2a+1)です。
この座標はaの値によって位置が変わり、特定の放物線の上を移動します。
その特定の放物線にはx座標が(a-1)/2、y座標が-a^2-2a+1の関係があるので、放物線上の任意の点を(x,y)で表すと
(x,y)=((a-1)/2,-a^2-2a+1)です。
ここで、x=(a-1)/2、y=-a^2-2a+1という2本の式ができます。
1本目の式を変形するとa=2x+1という式ができるので、これを2本目の式に代入するとy=-4x^2-8x-2となります。
つまり、放物線上の点のx座標とy座標の間にはy=-4x^2-8x-2の関係があるということです。

回答No.3

fukuda-h

問題の範囲は　数IIの軌跡と方程式です　頂点を(X,Y)とおいてこのＸとＹの関係式を求めようという問題です。
Ｘ＝(a-1)/2・・・(1) Y＝-a^2-2a+1 ・・・(2)からＸＹだけの関係を求めようとすると(1)を利用してaを消去しますね　(1)からa＝２X+1を(2)へ代入したわけです
　軌跡の問題は軌跡を描く点を(X,Y)とおいてこのＸとＹの関係式を求めようという問題です。

回答No.1

nero199

頂点のｘ、ｙ座標が(X,Y)=((a-1)÷2, -a^2-2a+1)なので
X=(a-1)÷2 Y=-a^2-2+1 です。そしてa=2x+1となりこれをy=のaに代入するんですよ。
なぜaを消去するのかは、この問題では前提がＸとＹの関数なので放物線を求める際ＸとＹで表すためにaをけすのですよ。