数学検定2級の過去問です。

質問

数学２級の過去問題です。『放物線y=x二乗－4kx+5(kは定数)がx軸と共有点をもたないようなkの値の範囲を求めなさい。この問題は、「－5/4＜k<1」となります。このような放物線とx軸に関する問題を作りたいと思います。先にに答えを求めて、その答えにたどりつくような放物線の式をつくるとき、答えが「－4＜k<1/2」になるような放物線の式y=x二乗+ax+bを１つつくりなさい。』という問題で、解説では、判別式D＝aの2乗－4b<0の解が－4＜k<1/2となるようにする。すなわち、判別式
が(k+4)(k－1/2)＝kの二乗+7/2k－2<両辺4倍して4kの二乗+14k－8＜０となるので、元のaの二乗－4b<0を整理すると4kの二乗+14k－8＜０になるaとbを求める。とあり、解答には、「y=x二乗－4（k+2)x+(2k+24)」となっているのですが、なぜこの解説から、この解答が導かれるのか理解できません。

回答No.4

tmppassenger · ベストアンサー

> －4〈m〈1/2ということは分からないと思うのですが

きちんと最初から問題や回答を一つ一つ理解しようとして読んでいますか？問題や回答を読み飛ばす癖がついてませんか？

最初に（少し記号を変え）
> k=cm + d (c, dはある定数)として、m=-4の時k=-5/4、m=1/2の時k=1となるようにcとdの値を求めてやれば、
と既に書いてありますが、この意図を理解していますか？

問題の最初に、『放物線y=x^2－4kx+5(kは定数)がx軸と共有点をもたないようなkの値の範囲』が「－5/4＜k<1」となる、と既に書いてあるのです。

ですから、（少し記号を変えて）k=cm+d (c, dはある定数)という変数mを導入して、「－5/4＜k<1」というのが「－4〈m〈1/2」 にちょうど対応するように c, dの値を逆に定めてやれば、『放物線y = x^2－4kx+5 = x^2－4 (cm+d) x+5 (mは定数)がx軸と共有点をもたないようなmの値の範囲』が「-4<m<1/2」になるのは明らかですよね、と既に書いているわけです。

ですから、（少し記号を変えて）m=-4の時k=-5/4、m=1/2の時k=1となるようにcとdの値を求めてやればよい、と既に書いてあるわけです。この回答の流れと意図は、既に書いてある通りです。

お礼

返信ありがとうございます。詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

tmppassenger

問題の意味と、何を回答するべきかを理解していますか？

問題は「放物線y=x^2 + ax + b （但し、a, bはkで書ける式）がx軸と共有点をもたないような k の値の範囲が 「－4＜k<1/2」となるような、<a,b>の組（繰り返しますがa, bはkで書ける式）を具体的に一つ作れ、といっているのです。こういう問題の意味であることは理解していますか？

で、今言ったのは（記号を少し変えると）c=1/2, d=3/4の時、『放物線y=x^2－4 (cm+d) x+5 (mは定数)がx軸と共有点をもたないようなmの値の範囲』が「-4<m<1/2」になる、といっているのです。これでも分りませんか？

補足

返信ありがとうございます。cm+dの部分に1/2、3/4を代入するということですか？でも、それだと、－4〈m〈1/2ということは分からないと思うのですが…解説お願いします。

回答No.2

tmppassenger

> a=2/1,b=3/4となりましたが、この後はどうすれば良いのでしょうか。
a=1/2ですよね。

さて、
そのようなa,bに対して（そのようなa, bの時）『放物線y=x二乗－4 (am+b) x+5 (mは定数)がx軸と共有点をもたないようなmの値の範囲』が「-4<m<1/2」になることは明らかですよね？

と書きましたが、この通りにすればよい。

補足

返信ありがとうございます。「この通りにすればよい」とは、具体的にどのようにすれば良いのですか。

回答No.1

tmppassenger

その解答の解説はともかく、そんな事は全然考えなくていいですよね。

というのは、『放物線y=x二乗－4kx+5(kは定数)がx軸と共有点をもたないようなkの値の範囲』が、「－5/4＜k<1」となるのであれば、k=am + b (a, bはある定数)として、m=-4の時k=-5/4、m=1/2の時k=1となるようにaとbの値を求めてやれば、そのようなa,bに対して『放物線y=x二乗－4 (am+b) x+5 (mは定数)がx軸と共有点をもたないようなmの値の範囲』が「-4<m<1/2」になることは明らかですよね？

補足

返信ありがとうございます。m=－4の時、k＝－5/4,m=1/2の時k=1という条件から、k=am+bにこれら2つの条件を代入して、－4a+b=－5/4,1/2a+b=1の2つの式を連立して解きましたら、a=2/1,b=3/4となりましたが、この後はどうすれば良いのでしょうか。