数学の質問です！

質問

数学の質問です！

解析幾何に関する質問なのですが、

「放物線　y = x^2 上の点Ａ（a, b） を中心としてこの放物線に接するような円が存在するための実数 a の条件を求めよ。」

曲線同士が接する⇔接点での接線の傾きが等しい
と考え、
円と放物線との接点の法線が、点Ａを通る　としてベクトルで解けないものかと思いましたが…。

行き詰ってしまいました；どなたかご教授のほど、よろしくお願い致します。

回答No.3

momordica · ベストアンサー

大体その考え方でいいと思いますよ。

放物線上にA以外の点B（t, t^2)をとり、その点における接線を考えると、その方向ベクトルは(1,2t)です。
これとABベクトル(t-a, t^2-a^2)が垂直であれば直線ABは点Bにおける放物線の法線であり、
いいかえれば、点A を中心として点Bで放物線に接する円が存在することになります。
よって、両者の内積をとって、
　1*(t-a)+2t(t^2-a^2)=0
これを整理して、
　(t-a)(2t^2-2at+1)=0
あとは、これを満たすt≠aである実数tが存在するようなaの条件を考えればそれが答えになります。
具体的には、tの二次方程式　2t^2-2at+1=0 の判別式を考えればいいでしょう。
t=aが2t^2-2at+1=0の解になる可能性についても一応考慮しておくことを忘れずに。
　（実際になることはありませんが、それを確認する必要はあります）

お礼

ベクトルで解くやり方が分かりました！
ありがとうございました！

回答No.6

momordica

またまたすみません。
＃５は、＃２ではなく＃３に対する訂正です。
全く何やってんだか…

回答No.5

momordica

＃２です。すみません、あとで見直したら一部計算ミスってますね。
　(t-a)(2t^2-2at+1)=0
じゃなくて、
　(t-a)(2t^2+2at+1)=0
です。
最終的な答えはたまたまどちらでも同じになったりしますが。

回答No.4

nananotanu

書き方が悪かったかな？

『任意の』接線の法線は中心を通るから、何らかの形で放物線の式が入ってくるんじゃない？ってヒントを出して、自分で一旦考えていただこうと思ったのですが…最初から＃２さんのように教えちゃえば良かったかな:-)

ベクトルでささ～と解いた＃３さんには脱帽です(^^)/

回答No.2

mister_moonlight

別に条件なんか、不足してない。

Ａ（a,a＾2） とすると、円は　(x-a)＾2＋(y-a＾2)＾2＝r＾2.
円と放物線が接するから、共通の接点で共通接線を持つ。
接点をＢ(α、β)とすると、放物線の接線は　y＝2αx＋β-2α＾2　‥‥(1)
円の接線は、(x-a)*(α-a)-＋(y-a＾2)*(β-a＾2)＝r＾2.　‥‥(2)
(1)と(2)が一致するから、β＝α＾2　である事を考慮して、係数が比例する事により、(α-a)/(2α)＝(β-a＾2)/(-1)＝(a＾4＋a＾2-aα-a＾2α＾2-r＾2)/(β-2α＾2)となる。
実際に計算すると、α≠aとして、αにそろえると、f(α)＝2α＾2＋2aα＋1＝0
この2次方程式が、α≠a、0　の実数解を持つと良いから、判別式≧0　f(a)≠0　f(0)≠0。
従って、｜a｜≧√2.

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.1

nananotanu

円の接線の法線は必ず中心を通りますから、それだけでは条件が明らかに足りません。
円の方程式と放物線が共通解を持つ、という条件を入れなくっちゃ。

y = x^2を代入して、円の方程式からyを消してみては？

お礼

回答ありがとうございます！
その方法もやろうと思ったのですが、どうしても４次方程式が出てきてしまうので、あまりやりたくなかったのです…。