線形の微分方程式です。

質問

また、数十題あるうちのいくつかにひっかかってしましました。どなたか助け船をお願いします。
1:xy`－(x+1)y=ｅ^x/(x^2-1)^1/2
2:y`－ａｙ=sinx

積分因数を用いた問題
1:xdy－ydxー2(x^2＋y^2)dx=0 、積分因数:1/(x^2+y^2)
2:(x^2+y^2)dx-x(xdy-ydx)=0 積分因数:1/(x(x^2+y^2))

頭がパンクしています。お願いします。
わかりずらくてすみません。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

tessさん、こんばんは。
積分因数が出てきていますね。

一般にP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
が完全微分形でないときに、上式に対し
M(x,y)P(x,y)dx+M(x,y)Q(x,y)dy=0
が、完全微分形になるようなM(x,y)を積分因数といいます。

＞1:xdy－ydxー2(x^2＋y^2)dx=0 、積分因数:1/(x^2+y^2)

さて、ここでは積分因数が与えられていますから、
x/(x^2+y^2)dy-(y+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)dx=0
は、完全微分形です。

整理して
(y+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)dx-x/(x^2+y^2)dy=0
となるので
P(x,y)=(y+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)
Q(x,y)=-x/(x^2+y^2)
とおくと、この一般解F(x,y)は

F(x,y)=∫[a→x]P(x,b)dx+∫[b→y]Q(x,y)dy
の形で表されます。
したがって、
F(x,y)=∫[a→x](2x^2+2b^2+b)/(x^2+b^2)dx+∫[b→y](-x)/(x^2+y^2)dy
a=1,b=0のとき
=∫[1→x]2dx+∫[0→y](-x)/(x^2+y^2)dy
=[2x]1→x -x∫dy/(x^2+y^2)・・・（☆）

ここで、y=xtanθとおくと、
dy=xdθ/cos^2θ
また、y=yのとき、θ=arctan(y/x)
y=0のとき、θ=0
1+tan^2θ=1/cos^2θ
であるから、

（☆）=2x-2-[θ]0→arctan(y/x)=C1が解である。

したがって、一般解は、2x-arctan(y/x)=C

となると思うのですが・・
２番も同じようにやってみてください。頑張ってくださいね。

回答No.2

fushigichan

＃１fushigichanです。
＞xy`－(x+1)y=ｅ^x/(x^2-1)^1/2

こちらの問題も、＃１の解法でやってみたいと思います。

まず、
xy'-(x+1)y=0
という微分方程式を考える。
xy'=(x+1)y
dy/dx=(x+1)y/x
∫dy/y=∫{(x+1)/x}dx=∫(1+1/x)dx
log|y|=x+log|x|+C1
log|y|=loge^x|x|+C1
y=Ce^x*x
と、かけます。

ここで、xy'-(x+1)y~e^x/(x^2-1)^(1/2)
において、
y=u(x)*e^x*x　とおくと、
y'=u'(x)*e^x*x+u(x){e^x*x}'
=u'(x)*e^x+u(x)*e^x*x+u(x)*e^x
=u'(x)*e^x+(1+x)y/x

よって、xy'=u'(x)*e^x*x+(1+x)y
xy'-(1+x)y=u'(x)*e^x*x=e^x/(x^2-1)^(1/2)
したがって
u'(x)=e^(x^2-1)^(-1/2)/x^2

ここで、{e^(x^2-1)^(-1/2)}'=(-1/2)*(2x)*e^(x^2-1)^(-1/2)
=-x*e^(x^2-1)^(-1/2)

したがって、
∫u'(x)dx=e^(x^2-1)^(-1/2)*(-1/x)-∫{e^(x^2-1)^(-1/2)/x^2}dx

2u(x)=e^(x^2-1)^(-1/2)*(-1/x)
u(x)=(-1/2)e^(x^2-1)^(-1/2)*(1/x)

y=u(x)*e^x*xとおいたので、
y=(-1/2)e^(x^2-1)^(-1/2)*(1/x)*e^x*x
y=(-1/2)e^{x/(x^2-1)^(1/2)}・・・答え

となるのではないかな、と思います。
計算はミスがないか途中、確認してください。
頑張ってください。

回答No.1

fushigichan

tessさん、こんにちは。
＞y`－ａｙ=sinx

について、解いてみたいと思います。
まず、一般に、y'=ayなる微分方程式を解くと、
dy/dx=ay
∫dy/y=∫adxとなるので、
log|y|=ax+C1
y=C*e^(ax)
となることは、いいでしょうか。

このことを利用して、
y'-ay=sinxを解きます。
y=u(x)*e^(ax)と置くとします。

y'=u'(x)*e^(ax)+au(x)*e^(ax)
　=u'(x)*e^(ax)+ay
ゆえに、
y'-ay=u'(x)*e^(ax)=sinxとなります。

したがって、u'(x)=sinx/e^(ax)=sinx*e^(-ax)
この両辺をｘで微分すると
∫u'(x)dx=u(x)=∫sinx*e^(-ax)・・・（★）

ここで、公式
∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)
を使います。

（★）=-cosx*e^(-ax)+∫cosx*(-a)*e^(-ax)dx
=-cosx*e^(-ax)-asinx*e^(-ax)-a^2∫sinx*e^(-ax)dx
=-(ainx+cosx)*e^(-ax)-a^2*u(x)

よって
u(x)=-(asinx+cosx)/(1+a^2)*e^(-ax)

y=u(x)*e^(ax)と置いたので、
y=-(asinx+cosx)/(1+a^2)・・・答え

（検算）
y=-(asinx+cosx)/(1+a^2)のとき
y'=(-acosx+sinx)/(1+a^2)
y'-ay=(-acosx+sinx)/(1+a^2)+a(asinx+cosx)/(1+a^2)
={-acosx+sinx+a^2sinx+acosx}/(1+a^2)
=(1+a^2)sinx/(1+a^2)
=sinx

となって、微分方程式を満たしている。

となると思います。頑張ってください。