この微分方程式の解き方がわかりません。

質問

2題どうしても解けません。基本的な解き方は理解しています。
お願いします。
○xy(1+x^2)y`=1-y^2
○x(y`+1)+tan(x+y)=0

あと、これも同じような問題なんですが、
y`ーａｙ=sinx

それから素朴な疑問なんですが、secX や cotYってなんなのでしょう?回答などによく出てきますが意味がわかりません。お願いします。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

tessさん、こんにちは。
大変難しい微分方程式ですね。

＞○xy(1+x^2)y`=1-y^2

y'=dy/dxですから、この式は
xy(1+x^2)*dy/dx=1-y^2
dy/dx=(1-y^2)/(1+x^2)*(1/xy)
ここで、左辺はｙ、右辺はｘについて分けると
∫y/(1-y^2)dy=∫1/x(1+x^2)dx
これを解くと、
左辺=∫y/(1+y)(1-y)dy=1/2∫y/(1-y)dy-1/2∫y/(1+y)dy
=1/2log|1-y|-1/2log|1+y|+C1
=1/2log|1-y|/|1+y|+C1

右辺=∫1/x(1+x^2)dx
1+x^2=tとおくと、2xdx=dt
x^2=t-1であるから
∫1/x(1+x^2)dx=∫xdx/x^2(1+x^2)
=1/2∫dt/(t-1)t
=1/2∫dt/(t-1)-1/2∫dt/t
=1/2logx^2/(x^2+1)+C2

よって、
(1-y)/(1+y)=x^2/(x^2+1)*C C1,C2,Cは定数。
2/(1+y)-1=x^2/(x^2+1)*C
2/(y+1)={(C+1)x^2+1}/(x^2+1)
y+1=2(x^2+1)/((C+1)x^2+1}
y={(1-C)x^2-1}/{(C+1)x^2+1}

のように解けばいいと思います。
計算はご確認ください。

＞secX や cotYってなんなのでしょう？

セカントｘ、コセカントｘ、コタンジェントｘという関数を
secx=1/cosx
cosecx=1/sinx
cotx=1/tanx

のように定義します。つまり逆数と思ってください。
逆関数ではないので注意しましょう。

ご参考になればうれしいです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
もうすぐテストなので参考にして頑張ります。
本当にありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

２題とも変数分離で解ける．
○xy(1+x^2)dy/dx=1-y^2

○x(y'+1)+tan(x+y)=0
⇒x+y＝u と置いて，ｘdu/dx＋tan(u)＝０

○y'－ａｙ=sinx
e^(-ax)を両辺に掛けてｘで積分．

お礼

早速のお返事ありがとうございました。
テスト勉強の参考にいたします。ありがとうございました。

回答No.1

hinebot

後半だけ。
正式な名前は忘れましたが
secX = 1/cosX　（セカントX）
cotX = 1/tanX　（コタンジェントX）
のことです。
ちなみに
1/sinX は、cosecX（コセカント）　といいます。

逆関数である ArcsinX(アークサインX)などと混同されませんように。

お礼

今までの謎が解けました。ありがとうございました。