数学 微分方程式

質問

次の微分方程式を解け。
(1) dy/dx=ay(a≠0)
(2) dy/dx=(y-1)/xy
(3) (1-x^2)dy/dx=x(y^2+1)
という問題が分かりません。解説お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1) dy/dx=ay(a≠0)
y=0(自明の解)

y≠0の解
dy/y=adx
ln|y|=ax+c' (c'=任意の実数)
|y|=c"e^(ax) (c"=e^c'>0)
y=±c"e^(ax)=c e^(ax) (c=c" or -c")

まとめて
y=0, y=c e^(ax) (c=0でない任意の定数)

(2) dy/dx=(y-1)/(xy)
x,y≠0
y=1(自明の解)
y≠1
ydy/(1-y)=dx/x (x≠0)
dy+dy/(y-1)=dx/x
dx/x -dy/(y-1)=dy
ln(|x|)-ln(|y-1|)=y+c'
|x/(y-1)|=c"e^y (c"=e^c'>0)
x=±c"(y-1)e^y =(1/c)(y-1)e^y (1/c=c" or -c")

まとめて
y=1, (y-1) e^y=cx(x≠0) (c=0でない任意の定数)

(3) (1-x^2)dy/dx=x(y^2+1)
x≠±1であるから
dy/(y^2+1)=xdx/(1-x)(1+x)
dy/(y^2+1)=-(1/2)(1/(x+1)+1/(x-1))dx
tan^-1(y)=-(1/2)ln(|x^2-1|)-c/2

y=-tan(ln(|x^2-1| e^c)/2) (c=0でない任意の定数, ln():自然対数)