微分方程式（リッカチと線形だと思ったんですが…）

質問

微分方程式の問題についてもう1時間以上も悩んだのですが
突破口が開けません

（１）xdy - ydx - 2(x^2 + y^2)dx = 0

（２）(y^4 + 2y)dx + {x(y^3) + 2(y^4) - 4x}dy = 0

（１）はリッカチ型かと思ったのですが、最初に見当で特殊解を
　見つけるのがうまくできません。
（２）は dx/dy , x についての線形微分方程式だと思ったのですが
そのあと (y^3 - 4) / (y^4 + 2y) を積分しなければならなくなり、
そこで詰まってしまいました。

考え方自体が違っているのか、計算ができないせいか分かりませんが
お手上げ状態です。どうすれば解けるのでしょうか？
途中式なども、少しでもあるととても助かります;;

回答No.3

inara1

（２）
y*( y^3 + 2 )*dx/dy + x*( y^3 - 4 ) = 0 の解は
　　　( dx/dy )/x = -( y^3 - 4 )/{ y*( y^3 + 2 ) }
　　　ln|x| = ln| y^2/( y^3 + 2 ) | + C1
　　　x = C2 *y^2/( y^3 + 2 )
したがって与式の解は
　　　x = u(y)*y^2/( y^3 + 2 )
で表わされる。これを与式に代入すれば
　　　y^3*( du/dy + 2*y ) = 0
y = 0 のとき　x = 0
y ≠ 0 のとき du/dy + 2*y → u = C3 - y^2 → x = ( C3 - y^2 )*y^2/( y^3 + 2 )
これは y = 0 のとき x = 0 となるので解は
　　　x = ( C3 - y^2 )*y^2/( y^3 + 2 )

回答No.2

inara1

切りの良い質問Noですね。(1)は分かりましたが、(2)は分かりません。

（１） 与式を書き直すと
　　　x*y' = y + 2*( x^2 + y^2 ) --- (1)
p(x) =y/x とおくと
　　　y = x*p
　　　y' = p + x*p'
これらを式(1)に代入すれば
　　　x*( p + x*p' ) = x*p +2*( x^2 + x^2*p^2 )
　　　→ p'/( 1 + p^2 ) = 2
　　　→ arctan(p) = 2*x + C
　　　→ y = x*p = x*tan( 2*x + C )

（２）　与式を書き直すと
　　　y*( y^3 + 2 )*dx/dy + x*( y^3 - 4 ) + 2*y^4 = 0
この解は
　　　x = y^2*( C - y^2 )/( y^3 + 2 )
ですが・・・

ちなみに、( y^3 - 4 )/( y^4 + 2*y ) の積分は
　　　( y^3 - 4 )/( y^4 + 2*y ) = ( y^3 - 4 )/{ y*( y^3 + 2 ) } = 3*y^2/( y^3 + 2 ) - 2/y
なので
　　　∫( y^3 - 4 )/( y^4 + 2*y ) dy = ln| y^3 + 2 | -2*ln| y | + C = ln| ( y^3 + 2 )/y^2 | + C
だと思います。

回答No.1

KappNets

解答がないので、mathematica の答えを記します。ヒントになれば....
(1) y=(-1-(1-16*x^2)^(1/2))/4, y=(-1+(1-16*x^2)^(1/2))/4
(2) y=0, y=-2^(1/3)