微分係数について

質問

たとえば、関数F（ｙ）＝∫（０→√ｘ）e＾（xy）sinｘ＾2dx（こういう関数ならなんでもよい）のy=0における微分係数を求める時、「積分と微分の可換性を用いれば簡単に計算できる」というのですがどういうことですか？分かる方教えてください。

回答No.3

shibainumodoki · ベストアンサー

勝手に作った変な例ですが、F(y)=∫（０→ｘ） (sinx+ (e^2x)y+xy^2)dx　なるF(y)を考えます。
(但し、x,y は互いに無関係(?)な変数とします)
まず、普通に計算していけば
F(y)=∫（０→ｘ） (sinx+ (e^2x)y+xy^2)dx
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x　
　　=[-cosx + y(e^2x)/2 +(1/2)(y^2)x^2]　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0
　　={-cosx + y(e^2x)/2 +(y^2)x^2/2 }-{cos0+(1/2)y}
　　=-cosx + y(e^2x)/2 +(y^2)x^2/2 +1-y/2
よって　dF(y)/dy =(e^2x)/2 +(x^2)y-1/2　になりますね。

今度は、yで微分してから積分すると、
　∫（０→ｘ） (δ/δy){sinx+ (e^2x)y+xy^2}dx
　=∫（０→ｘ）{(e^2x)+2xy}dx
　　　　　　　　　　　 　 x
　=[ (e^2x)/2+y(x^2) ]
　　　　　　　　　　　 　 0

　={(e^2x)/2+y(x^2) }-{1/2}
　=(e^2x)/2 +(x^2)y-1/2　と先程のdF(y)/dy と同じモノがでてきます。

お礼

詳しい回答ありがとうございました。

回答No.4

shibainumodoki

＃３に書き忘れましたが、＃３は＃２の続きです。

回答No.2

shibainumodoki

うろ覚えですが、
F(y)=∫G(x,y)dx　のとき
dF(y)/dy
(d/dy)∫G(x,y)dx = ∫(δ/δy)G(x,y)dx だから
dF(y)/dy ＝∫(δ/δy)G(x,y)dx では？

回答No.1

Drunk

ｘで積分してから、ｙで微分して、y=0を代入するのと、
積分の中身をｙで微分して、ｙ＝０を代入してから、ｘで積分しても同じ、ということだと思います。
いつでも後者の方が簡単とは限らないと思いますけど。
また、積分区間がｙの関数になっている場合などもあるので、注意する必要があります。

お礼

なるほどです。回答ありがとうございました。