２変数の極限値

質問

lim(x,y)→(0,0) x^2/(x+y)　がわかりません。
y=-mxとしてやってみると、式は (m^2*x)/(1-m)となっています。この場合x→0だから、答えが0になると思うんですが、答えは極限なしとなっています。

お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(x,y)→(0,0)の極限のとり方により、極限値が異なる場合は極限なし。

どのような極限のとり方をしても、極限値が有限で同じ値になるとき、
極限が存在し（収束し）、極限は共通の極限値になります。

極限が存在することを言うには、どんな極限のとり方をしても同じ値に収束することを言わないといけません。

極限が存在しないことを言うには、極限のとり方により、２つの異なる極限値が存在することを示すか、極限のとり方により発散する場合があることを示せば良いですね。

>y=-mxとしてやってみると、式は (m^2*x)/(1-m)となっています。この場合x→0だから、答えが0になると思うんですが、
これからだけですべてを尽くしていませんので極限値が0とはいえません。
y=x^2-x　とおいて　x→0とすると 0にならず　1になります。
0に収束する極限のとり方がある一方で、0とは異なる1に収束する極限も存在することが示せることから、「(x,y)→(0,0)の場合には極限なし」
ということになります。

お礼

y=x^2-x　とおいて極限を調べるんですね。おきかたとしては、とにかく極限値として、異なる値になるような近づけ方をすればいいってことですね。毎回答えていただきありがとうございます。わかりやすかったです。

回答No.3

alice_38

要するに、m を定数と考えたことが間違い
ということです。
(x,y) を (0,0) に近づける道中で、
-y/x の値は一定とは限りません。
常に m≠1 でありながら、
x→0 と同時に m→1 となるような
近づけ方があるのです。
その例は、既に、他の方が挙げておられますね。

お礼

定数として見ていたかもしれません。y=mxでmを定数として見るのなら、この近づけ方の意味ないですね。

ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

y=-mxとすると、
x^2/(x+y)=x/(1-m)
ですよ。
まあ、その場合でもm≠1なら、
x^2/(x+y)→0
ですが。

lim(x,y)→(0,0) x^2/(x+y)
が極限値を持つということは、
(x,y)が(0,0)にどんな近づきかたをしても同じ値になるということです。
ある近づきかたをしたときはある値になるけど、別の近づきかたをすると別の値になる場合は、極限値が存在するとは言いません。

y=kx^2-x の条件を満たしたまま(0,0)に近づくと、
x^2/(x+y)=x^2/(x+kx^2-x)=1/k
なので、極限なしとなります。

お礼

遅れて、すみません；
なるほど、y=mx以外の近づき方も試さなければならないってことですね。よくわかりました。ありがとうございました。