二変数関数の極限

質問

二変数の極限（主に原点）でｙ＝ｍⅹ等に沿って極限に近つける、とやる方法がありますがこのように置く根拠やどんな関数のとき何に置くかなどの判断がよくわかりません。３次元でｙの近つけかたにも色々あるから置き方によって値が異なると一定の極限値は存在しないという事でしょうか？例えばｙ軸に沿って行くと０だがｙ＝ｍXとすると１/２とか。このような場合は、解ります。このような置き換えや近つけ方は、あらゆる方法があると思うのですが変な話「どれぐらい試す」とその極限値を証明したことになるのですか？

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>あらゆる方法があると思うのですが変な話「どれぐらい試す」と
>その極限値を証明したことになるのですか？

一般的には「あらゆる方法」を試みる以外にないと思います。

例えば f(x, y) = (x^2 + y^2)/y (y ≠ 0) 、f(x, 0) = 0 を考えると
y = mx に沿って (0, 0)に近づくと f(x, mx) = (x + m^2x)/m -> 0 ですが、

y = x^2 に沿って (0, 0) に近づくと f(x, y) = 1 + x^2 -> 1 ですね。

お礼

わかりました。ありがとうございます。