２変数の極限で、x,yが0へ近づく速度について

質問

２変数の極限値で、x,yが0へ近づく速度について、同時に0になる場合が解りません…お手数をおかけいたしますが、よろしくお願いします。

lim[(x,y)→0]　√|xy|/√(x^2+y^2)に関して、

(1)xがyに先行して0になる場合、0/y=0
(2)yがxに先行して0になる場合、0/x=0ですが、

(3)同時に0になる場合が解りません…
普通に考えると0/0ですが、分母が0になってしまいます。

同時に0となる例として、x=yの時を考えますと、
lim[x→+0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→+0] |x|/(x√2)=1/√2
lim[x→-0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→-0] |x|/(x√2)=-1/√2
左右の極限値が一致しません。

ってことは極限値がないので、解は”ｘとｙが同時に0にならない場合は極限値=0、同時に0となる場合は極限値が存在しない。”とすればよいのでしょうか？

ご指導をお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>lim[(x,y)→0]　√|xy|/√(x^2+y^2)に関して、
近づける方向によって極限値が異なるので「極限値は存在しない」ですね。

x=r*cosθ,y=r*sinθで置換すると
lim[(x,y)→(0,0)]　√|xy|/√(x^2+y^2)=√|sin(2θ)|/√2
θによって極限値が異なりますね。

>(1)xがyに先行して0になる場合、0/y=0
>(2)yがxに先行して0になる場合、0/x=0ですが、
これはOKです。

(1)は上のθ=π/2,3π/2の場合に相当します。
(2)は上のθ=0,πの場合に相当します。

>(3)同時に0になる場合が解りません…
>普通に考えると0/0ですが、分母が0になってしまいます。
こう考えてはダメですね。
上に書いたように(x,y)→(0,0)の近づけ方により異なるので
つまり、x軸とのなす角θを保ちながら　y=xtanθを保ちながら
(x,y)→(0,0)とすると考えればx,yを同時にゼロに近づけられます（r→0）。
すると
極限値は　{√sin(2θ)}/√2　(θ=0～2π)となります
θに依存するので極限値が存在しないことになりますね。

>同時に0となる例として、x=yの時を考えますと、
>lim[x→+0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→+0] |x|/(x√2)=1/√2
間違い。
lim[x→+0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→+0] |x|/(|x|√2)=1/√2

>lim[x→-0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→-0] |x|/(x√2)=-1/√2
間違い。
lim[x→-0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→-0] |x|/(|x|√2)=1/√2

>左右の極限値が一致しません。
計算間違いしてるのでこの結論は間違いです。

>ってことは極限値がないので、解は”ｘとｙが同時に0にならない場合は極限値=0、同時に0となる場合は極限値が存在しない。”とすればよいのでしょうか？

(0,0)に近づける方向による極限値は {√sin(2θ)}/√2 となります。
方向によって異なるので、こういう場合は極限値の定義により「極限値は存在しない」と
します。

お礼

いつもながら的確なご指導、ありがとう御座います、info22_さん。

すごく分かり易いです。

一応、極座標も考えたのですが、cosθやsinθもr→0の影響を受けると考えてしまったのです。例えばsinθ=y/rでr→0⇒(ｘ,ｙ)→0であり、結局x=yの条件ではsinθ=y/rのｒとx=yが同時に0となり、r→0における極限値は0/0になるんじゃないかと…

>>x軸とのなす角θを保ちながら　y=xtanθを保ちながら(x,y)→(0,0)とする

おおまかに内容は理解できたと思いますが、一度じっくり考察して見ます。
ありがとう御座いました！

回答No.2

Tacosan

「どのような近づきかたをしても同じ値になる」場合に「極限値が存在する」といいます.

でも, その「x=yのとき」は多分間違ってる. どちらの極限も 1/√2 じゃない?

お礼

>>その「x=yのとき」は多分間違ってる. どちらの極限も 1/√2 じゃない?

その通りでした…orz
ご指摘、ありがとう御座います。

回答No.1

R_Earl

√(2x^2) = x√2という変形が間違いです。
xが負の数の時、この変形ができません。
例えばx = -2等で試してみてください。

xが実数の場合、正しい変形は√(2x^2) = |x|√2となります。

> ってことは極限値がないので、解は”ｘとｙが同時に0にならない場合は極限値=0、同時に0となる場合は極限値が存在しない。”とすればよいのでしょうか？

場合分けは必要ありません。
収束の仕方によって極限値が異なるなら、
答えは「極限値無し」とすれば良いです。

お礼

先日に続きお世話になり、ありがとう御座います。

>>正しい変形は√(2x^2) = |x|√2となります。
ケアレスミスしてしまいました…自分の考えに近い結果になれば、ミスに気づけないものですね…