数学の宿題（極限値）です。

質問

以下の問題なのですが、どのような答えになるのでしょうか。解き方を教えていただけると助かります。

極限値を求めよ。ただし存在しないときは存在しないと答えること。
(1) lim(x,y)→(0,0) 　　 x^2y/(x^2+y^2)

(2) lim(x,y)→(0,0) 　(3x^2+2y^2)/(2x^2+3y^2)

(3) lim(x,y)→(0,0) 　(3x^2 - x^2y + 3y^2)/(2x^2+3y^3 + 2y^2)

(4) lim(x,y)→(0,0) 　 xlog(x^2 + y^2)

(5) lim(x,y)→(0,0) 　 ( sin(2x^2 + 2y^2) ) / ( tan(x^2 + y^2) )

回答No.2

satuchiko · ベストアンサー

(3)x=rcos@,y=rsin@とおきます。
@はシータとおもってください。つまり、極座標変換するわけですね。
すると、
与式=(3-rsin@(cos@)^2)/(2+3r(sin@)^3)
となります。0≦sin@≦1ですから、
|与式|≦|3-rsin@(cos@)^2|/2
|与式|≦|3-rsin@+r(sin@)^3|/2
|与式|≦|3-r|/2
これで上から抑えることができました。
今度は下からです。
|与式|≧|3-r|/|2-3r|
と言えます。
（分母を小さくするにはsin@(cos@)^2を最大値１にし、分子の(sin@)^3を最小値-1にする）
(x,y)→(0,0)すなわりr→0とすれば、上からも下からも3/2となるので、
極限は3/2です。
(4)同様に、x=rcos@,y=rsin@とおきます。
すると、
0≦|与式|=|2rcos@logr|≦2|rlogr|
となります。r→0のとき、rlogr→0ですから、はさみうちの原理から極限は0です。
(5)x=rcos@,y=rsin@とおくと、
与式=2(cosr^2)^2→2(r→0)
となるので、極限は2です。はさみうちなどは使っていません。

お礼

ありがとうございました。たすかりました。

回答No.8

noname#171582

（５）
ｆ（ｘ、ｙ）＝sin(２ｘ＾２＋２ｙ＾２）/tan(ｘ＾２＋ｙ＾２）
のグラフ

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お礼

ありがとうございました。

回答No.7

noname#171582

（３）式のグラフ

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お礼

ありがとうございました。

回答No.6

noname#171582

（２）式のグラフ

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

noname#171582

(1)のグラフ

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

satuchiko

ごめんなさい。また間違ってますね。
(1)は極座標でおくと、
与式=rcos@sin@=rsin2@/2
|与式|<|r/2|
となり、答えはゼロです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

satuchiko

ごめんなさい。間違えました。
(3)のところで、上から抑える場合、
|与式|≦|3-r|/2
ではなく、
|与式|≦|3+r|/2
ですね。

回答No.1

satuchiko

間違ってたらごめんなさい。
(1)x=y=tとしてみると、
与式=t/2→0
x=t,y=t^2としてみると、
与式=1/(1+t)→1
となり、近づけ方によって変わるので極限は存在しない
(2)もx=t^2,y=tとx=t,y=t^2では極限が違いますね。