二変数関数の極限値計算の途中で・・・

質問

いつもいつもお世話になっています。
以前にも似たような問題について質問したのですが、
下記の極限値問題です。

lim[x,y→0,0]xy^2/(x^2+y^4)

極限値なしが答えとなっており、自分は機械的に極座標変換して
0と求めてしまいました。
それは、

rCos(θ)Sin(θ)^2/{Cos(θ)^2+r^2*Sin(θ)^4}

となるので、r→0なら全体も0かなと形式的にやってしまったこと
からなのですが、なぜこうではいけないのか、情けないですが
気づきません。
解答には、rSin(θ)^2＝a*Cos(θ)　（aは定数）
とおいて極限値が定まらないことを言っています。
放物線によって原点に近づくときを考えているようです。

こういう二変数関数の極限値では、どんな近づき方をしても定まるような値を求めなくてはならず、y＝mxやy^2＝axなどと一通りで見てはならないということでした。ただし、極限がない事をいうときには、そうやって一通りで考えたときの極限値が少なくとも一通りに定まらないということが言えれば有効であるということでした。
今回はおそらくrSin(θ)^2＝a*Cos(θ)とすることで極限がない場合があることを示したのだと思いますが、どうやったらこういった変換を思いつくのですか。どんな極限値問題でも、極限が一通りに定まらないという疑いを持っていては、極限値があるのにいつまでも「極限値がない場合はどんな近づき方かな？」と考えている場面を想像してしまうのですが。
独学で勘違いしていることが多いかと思いますが、わかる方教えていただけないでしょうか。
長くなってすみません。よろしくお願い致します。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

頭の中で考えていることを書いてみます。

xy^2/(x^2+y^4)
だと分子も分母も→0になってしまうけど、どっちが速いんだろうか？
分子が速ければ→0だし、分母が速ければ→∞だよなあ...
xについては分子は1乗で分母は2乗だし、yについては分子は2乗で分母は4乗だ。だったら分母が速くて→∞になりそうだけど...
分子、分母が同じくらいの速度も場合もあるかな？速度が同じならxy^2=x^2くらいだからx=y^2になって、xy^2/(x^2+y^4)=x^2/(x^2+x^2)→1/2になる。
あ、でも定数倍でも速度は同じだからxy^2=ax^2で考えよう。
そうするとxy^2/(x^2+y^4)=(a^2)(x^2)/(x^2+(a^2)(x^2))→a^2/(1+a^2)になる。そうか、何にでもできるんだ。

お礼

なるほど、やはり試行錯誤なのですね。
訓練したいと思います。
御丁寧にありがとうございました。

回答No.1

arrysthmia

貴方の変数変換で良いように思います。
r を括り出した後の分数式が発散する
可能性を考えてみる必要があっただけです。
それは、常に必要なことですね？

放物線がポイントなのではなく、
r→0 と共に cosθ→0 となるか否かが
大切なのです。

お礼

やはり難しいのですね。
非常によく分かりました。
回答をありがとうございました。