二変数関数の極限

質問

f(x,y)=x(y^2)/(x^2+y^4)
で定義されるf(x,y)の(x,y)→(0,0)における極限は存在しません。

ということをこないだ学校で習ったのですが、近づけ方によって極限がちがうものとして、どうやらこの式は有名らしいのです。

不思議ですよね。図で説明されましたけどいまいちはっきりしないのに式で書くと極限がちがうという…

こんなような関数を初めて見たときみなさんはどのように感じましたか？？

回答No.5

noname#111804

x=y^2に沿ってのｘ--->0,y---->0のとき
limｆ（ｘ、ｙ）＝１/２
Fx=Fy=oとなりｆ（ｘ、ｙ）＝1/2一定で
極限値１/2に収束する。

--------------------------------------
x=-y^2に沿ってのｘ--->0,y---->0のとき
limｆ（ｘ、ｙ）＝-１/２
Fx=Fy=oとなりｆ（ｘ、ｙ）＝-1/2一定で
極限値-１/2に収束する。

-------------------------------------------
y=0に沿ってのｘ--->0,y---->0のとき
limｆ（ｘ、ｙ）＝0
Fx=Fy=oとなりｆ（ｘ、ｙ）＝0一定で
極限値0に収束する。

----------------------------------------
これ以外の任意のｘ--->0,y---->0のとき
limｆ（ｘ、ｙ）＝０

回答No.4

arrysthmia

おや、計算間違いだった。失礼。
lim[x→0,y→0] x^y よりイジワルなことに変わりはないが、
イジワルさは多少マイルドだったようだ。
過去問の解答集に「発散」と書いてあれば、
これなら多少は考える。(私は、考えが足りなかった。)

回答No.3

info22

#1です。
A#1の補足です。

lim[x→0]{lim[y→0]x(y^2)/(x^2+y^4)}=lim[x→0] 0=0
lim[y→0]{lim[x→0]x(y^2)/(x^2+y^4)}=lim[y→0] 0=0
です。
lim[x=y,y→0]{x(y^2)/(x^2+y^4)}=lim[y→0] (y^3)/((y^2)(1+y^2))
=lim[y→0] y/(1+y^2)=0
lim[x=y^2,y→0]{x(y^2)/(x^2+y^4)}=lim[y→0] (y^4)/(2y^4)=1/2
lim[x=-y^2,y→0]{x(y^2)/(x^2+y^4)}=lim[y→0] (-y^4)/(2y^4)=-1/2

このf(x,y)は(x,y)=(0,0)では未定義ですが、
lim[x→0,y→0] x(y^2)/(x^2+y^4)は
x,yの原点への近づけ方により異なる値をとることは

fx(x,y)=fy(x,y)=0を解けば
(fx,fyはf(x,y)のそれぞれx,yについての偏微分です）
y=0（xは任意）、x=y^2(yは任意）、x=-y^2(yは任意)
となる事から、
これらの3つの曲線に沿って[x→0,y→0]の極限をとれば
異なる極限値が得られますね。
（３Dプロットソフトでf(x,y)を書いてみればよくわかりますね。）

回答No.2

arrysthmia

lim[x→0] x^y = 0
lim[y→0] x^y = 1
などが殊更有名だけれど、
アレは x→0 と y→0 が
どちらも収束して、しかも
極限が違うから、
(x,y)→(0,0) が収束しない
例として、とても判りやすい。

f(x,y) = x(y^2)/(x^2+y^4) は、
lim[x→0] f(x,y) と
lim[y→0] f(x,y) が
どちらも無限大発散だから、
「よって収束しない。以上。」
で終わってしまうと、
何が起こっているのか全貌が掴めない。
理解度を問うという意味で試験向きの、
ちょっとだけイジワルな問題。

回答No.1

info22

具体的には何を聞きたいのですか？

感想など質問しても質問として適当ではないと思います。

>近づけ方によって極限がちがうもの
これについての質問なら

x->0 とした後 y->0 とすれば　f(x,y)->0
x=y^2の関係を保ちながら　y->0　とすれば　f(x,y)->1/2
一致しないので(x,y)->(0,0）の極限値は存在しないと言うことですね。