2変数関数での極限値の計算過程について教えてください

質問

こちらで以前、以下の極限値を求め方を質問したのですが、
教えていただいたアドバイスにあった計算のうち、
一部の式の導き方がよく理解できませんでした。
どうして、この計算式が導かれるのかがわからないのと、
この計算式は公式のように（証明なしで）いきなり使っていいのか
の2点について、詳しい方、ご指導よろしくおねがいします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。
lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

【教えてもらった答え】
(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)≦x+2y≦(1+2)√(x^2+y^2)→0
よって、極限値0をもつ。

【疑問点１】
(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)≦x+2y
の左半分の箇所ですが、これのx,yに適当なを入れても、
≦になりましたが、これは証明なしにいきなり使っても
いいのでしょうか？
また、どうしてこの右辺が出てきたのでしょうか？

【疑問点２】
右半分のx+2y≦(1+2)√(x^2+y^2)の箇所ですが、
たとえばx=1,y=2の場合は左辺が5,右辺が3/√5となり、
左辺>右辺になってしまうのですが、これであっているのでしょうか？

解答していただいた方がわかるだろう思って
途中の細かい式を省略して書かれたのを
私が理解していないだけなのかもしれませんが、
勉強不足のため、よくわかりませんでした。

初歩的な質問で申し訳ありませんが、わかる方、ご指導のほど
よろしくお願いします。

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)
この積分は収束しません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4585839.html

以下、lim (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) （(x,y)→(0,0)の質問として回答します。
【疑問点１】について
まず、三角不等式|A+B|≦|A|+|B|を使って、
|(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)|≦(|x|^2+2|y|^2)/√(x^2+y^2)。。。(1)
と変形する。右辺は次のように処理する。
任意のx,yについて、|x|/√(x^2+y^2)≦1および|y|/√(x^2+y^2)≦1が成り立っていることに注意する。両辺を２乗して、
|x|^2/(√(x^2+y^2))^2≦1
よって、|x|^2/√(x^2+y^2)≦√(x^2+y^2)。。。(2)
同様に|y|^2/√(x^2+y^2)≦√(x^2+y^2)だから
2|y|^2/√(x^2+y^2)≦2√(x^2+y^2)。。。(3)
(2)と(3)を足して、
(|x|^2+2|y|^2)/√(x^2+y^2)≦3√(x^2+y^2)。。。(4)
(4)を(1)の右辺に使って、
|(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)|≦3√(x^2+y^2)
ここで、(x,y)→(0,0)として、
|(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)|→0
よって、lim (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)=0

【疑問点２】について
5＜3/√5=6.708...です。

三角不等式や|x|≦√(x^2+y^2)など基本的な不等式は、普通の教科書では水や空気のごとく、特にことわりもなく使われます。不等式の変形を暗算でできるようになるぐらい練習するといいでしょう。

お礼

お返事が遅くなり、すいません。
大変丁寧な回答、ありがとうございました。
不等式の変形について、やっと理解できました。
年末年始のお忙しい中にもかかわらず、ご指導いただきありがとうございました。

回答No.3

gef00675

つい、あなたの解答につられてしまった。
5＜3/√5　　ではなく、
5＜3*√5=6.708...です

お礼

記述ミスをご指摘いただき、重ね重ね、ありがとうございます。
毎回、ご指導いただき、gef00675様らには大変感謝しております。
ありがとうございました。

回答No.2

info22

>【問題】
>次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。
>lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)
=lim [x→0] (x-0)/(x^2-0)
=lim [x→0] 1/x (収束せず)

>lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)
=lim [y→0] (0-y^2)/(0^2-y)
=lim [y→0] y =0

極限値存在せず。

>【教えてもらった答え】
>(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)≦x+2y≦(1+2)√(x^2+y^2)→0
>よって、極限値0をもつ。

問題の答「極限値存在せず」と上記の答が一致しませんが、答と問題のどちらかが、間違っていませんか？

お礼

私が式を、書き間違えたようです。
細かいご指摘ありがとうございました。