2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)

質問

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。

(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。

(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。

(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。

(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。

(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。

(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。

(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。

もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

回答No.2

gef00675 · ベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
(3)と(8)も。
失礼しました。

お礼

細かい箇所も訂正していただき、ありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.1

gef00675

(1) △　(2)△　(3)×　(4)× (5)○ (6)○　(7)×　(8)△

極限の(x,y)→(0,0)は、xとyをどちらかを固定して0に近づけるという意味ではない。だから、解答のように２方向からの極限を示すだけでは不十分である。どういう近づけかたをしても、同じ値に収束するということをいわねばならない。それには、普通は距離√(x^2+y^2)を使って比較する。距離の式としては、ほかに|x|+|y|とか、max(|x|,|y|)などを使ってもよい。逆に、収束しないことを示す場合なら、２方向からの極限が一致しないことを示せば十分なので、解答の通りでよい。

(1)
(xy)/√(x^2+y^2)=x/√(x^2+y^2)・y/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
という形で示す方がよい。

(2)も、
(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)≦x+2y≦(1+2)√(x^2+y^2)→0

(3)は収束しない。
y=0としたときの、x→0での極限は0だが、
x=yを保ったまま、x→0とすると、
(xy)/(x^2+2y^2)→1/3となって、極限が定まらない。

(4)は収束しない。計算も間違っている。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y)
= lim[x→0](x/(x^2)) =lim[x→0](1/x)となって発散。

(5)と(6)はOK

(7)収束しない。
y=0としたときの、x→0での極限は0だが、
x=yを保ったまま、x→0とすると、1/2となる。

(8)収束する
(x^2y)/(x^2+y^2)=(x/√(x^2+y^2))^2・y/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1^2・1・√(x^2+y^2)→0

お礼

すみません、間違って補足にお礼を書いてしまいました。
以上、おわびまで。

補足

早速の解答ありがとうございました。
また、丁寧に解説していただき、ありがとうございました。
まだまだ勉強不足ですが、今後もご指導のほどよろしくお願いします。