２変数関数の極限値

質問

lim｛(x,y)→(a,b)｝ｆ(x,y)が存在していればlim(x→a)lim(y→b)ｆ(x,y)およびlim(y→b)lim(x→b)ｆ(x,y)も存在するとのことですが、
lim(x→a)lim(y→b)ｆ(x,y)とlim(y→b)lim(x→b)ｆ(x,y)の違いが分かりません。
どなたかアドバイスお願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

lim｛(x,y)→(a,b)｝ｆ(x,y)が存在するということは、(x,y)をどのよ
うに(a,b)に近づけても極限値が存在するということで、(x,y)を(a,b)
に直線的に近づけても、渦巻き状に近づけても、とにかく、近づけ方
は無限通りありますが、その近づけ方によらずに極限値が１つ存在
するということです。
lim(x→a)lim(y→b)ｆ(x,y)は(x,y)の(a,b)への近づけ方として、先に
yをbに近づけ、そのあとにxをaに近づけるという特別な近づけ方で、
座標平面上でみると、縦、横の順番で区画状に(x,y)を(a,b)に近づける
ということです。
任意の近づけ方で極限値が存在すれば、このような特別な近づけ方
でも極限値は存在します。
lim(y→b)lim(x→a)ｆ(x,y)でも同じことです。先にxをaに近づけ、
そのあとにyをbに近づける。
1変数関数の場合は、左右からの近づけ方を考えれば良いですが、
2変数関数、あるいはそれ以上の変数の関数の場合は、極限の取り方
が無限通りあります。

回答No.2

tobenaitori

lim(x→a)lim(y→b)f(x,y)
　まず、f(x,y)をyに関する関数と考えて、y→bの時の極限をとります。
　多くの場合、この値はf(x,b)となり、関数fはxの関数になります。
　次に、このxの関数をx→aに関して極限をとります。

lim(y→b)lim(x→a)f(x,y)
　上の場合と逆で、まず、f(x,y)をxに関する関数と考えて、x→aの極限をとります。
　多くの場合、この値はf(a,y)となり、関数fはyの関数になります。
　次に、このyの関数をy→bに関して極限をとります。

lim｛(x,y)→(a,b)｝ｆ(x,y)は(x,y)をどのように(a,b)に近づけても(どのような経路を通して近づけても)一定の値になると言う事ですから、この定理が成り立つ事は感覚的にわかると思います。