複素解析の問題です。

質問

C = ｛z∈C | |z| = 1｝ とします。
一次変換 w = (z+1)/(z-2) について、次の問いに答えてください。

（１）この一次変換の不動点を求めてください。

（２）一次変換ｗによるＣの像Γを求めてください。

（３）α = (1+i)/2 の円Ｃに関する鏡像α'を求めてください。

（４）一次変換ｗによるα、α'の像をω、ω'とするときωとω'がΓに関して鏡像な２点になることを示してください。

（１）は z = (z+1)/(z-2) を解いて、
z = （3±√13）/2 を導きだして、これが不動点かな？！ と思っているのですが・・・あってますか？；

（３）は円Ｃの中心を z_0 = 0 として、半径を r = 1 として、
(α' - z_0)(α^- - z_0^-) = r^2 に代入して、
(α' - 0)((1-i)/2 - 0) = 1 となって、
α' = 1+i を導きだして、これが答えかな？！ と思っているですが・・あってますか？；

（２）、（４）に関しては全くわかりません・・・・。

良かったら回答お願いしますｍ（＿＿）ｍ

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(1)
>z = （3±√13）/2 ・・・あってますか？
合っています。

(2)w = (z+1)/(z-2) から
z=(2w+1)/(w-1)
w=X+iYとおくと
|z|=|((2X+1)+i2Y)/((X-1)+iY)|=1
(2X+1)^2+4Y^2=(X-1)^2+Y^2
(X+1)^2+Y^2=1
∴Γ={w∈Γ| |w+1|=1｝

(3)
鏡像の定義を書いて下さい。
>(α' - z_0)(α^- - z_0^-) = r^2
この式の表現法が理解不能です。
回答者に分かる書き方で書いて下さい。

(4)
鏡像の定義が書かれていないので回答不能。

お礼

回答ありがとうございます！

（３）に関してなんですが、『^-』というのは供役複素数という意味です！

わかりにくくてごめんなさい；

補足

質問を丁寧に書き直してもう一度質問をさせて頂くことにしましたｍ（＿＿）ｍ

回答ありがとうございました！

回答No.2

alice_38

(3)
「鏡像」が、円に関する反転のことを言おうとしているのなら、
それで ok です。式中の「 ^- 」は、共役複素数の意味ですね？

(4)
一次分数変換の式と、上で使った「鏡像」の表現式とを使って、
(ω' - Γの中心)・((ω - Γの中心)の共役) = 実数
を示せばよいでしょう。計算してみましょう。

お礼

回答ありがとうございます！

はい・・『^-』というのは供役複素数のことです。
わかりにくくてごめんなさい。

（４）に関してなんですが、
info22様の回答からΓが中心－１、半径１の円だということがわかりました。
なので
（ω' + 1)(ω^- - 1)＝実数　
というように、頂いた回答の式にあてはめてみました。

実数ということを示せばいいから、
（ω' + 1)(ω^- - 1）を計算した値の、
iの前の係数が０になればいいのかな？と思って、
ω＝(α+1)/(α-2)
ω'＝(α'+1)/(α'-2)
を代入してまとめてから、
α＝a＋ｂi 、α＝ｃ＋ｄi
を代入してまとめて、
iの前の係数＝０
というように考えてみたのですがうまくいきませんでした・・。
良かったらどのように実数になるということを導き出せばいいのか教えていただけませんか？；

よろしくお願いしますｍ（＿＿）ｍ

補足

質問を丁寧に書き直してもう一度質問しなおすことにさせて頂きましたｍ（＿＿）ｍ

回答ありがとうございました！