複素積分
Cauchyの積分定理の応用に関する問題(Fresnel積分)に関してですが、テキストなどでは、積分路を扇にとって積分していますが、これを二等辺三角形にして考えています。
まずf(z)=e^(iz^2)として、積分路Cを0,R,(1+i)Rを頂点とする直角二等辺三角形の周とします。ここで、C上の積分∫f(z)dxを考えて、Fresnel積分を導きたいのですが、一部積分評価がわからないところがあり、質問させていただきました。
積分路CをC1(0→R)、C2(R→(1+i)R)、C1((1+i)R→0)、として考え、各積分路の積分をI1,I2,I3とすると、Cauchyの積分定理より、
∫f(z)dx=I1+I2-I3=0
となり、I1,I3については問題ないのですが、I2の積分評価がうまくできません。
C2をパラメータtを用いて、z=R+it,(0≦t≦R)とすれば、
I2=i∫[0,R] e^(i(R+it)^2) dt
=i∫[0,R] e^{i(R^2-t^2)-2Rt} dt ----(*)
となり、(*)式の積分評価がよくわかりません。R→∞としたとき、I2→0となるのですが、どうやって導いたらよいのでしょうか?どなたか教えていただけないでしょうか?できれば、詳しく教えていただけると大変助かります。
大変読みづらいかもしれませんが、よろしくお願いします。
お礼
回答ありがとうございました。