複素積分
I1=∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxを複素積分を使って求めます。
まず
∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxの被積分関数の分子にi*sin(a*x)を
（iは虚数単位）を加えても加えた部分が奇関数でかわらないので加え
ると
∫[-∞,-∞]{cos(a*x)+i*sin(a*x)}/(x^2+b^2)dxとなります
するとI=∫[-∞,-∞]exp(i*a*x)/(x^2+b^2)dxです。
ここで複素積分
I=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は実軸と虚軸の正の部分を通る
反時計回りの半径Rの半円）
またI2=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は虚軸の正の部分のみを通
る反時計回りの半径Rの半円）を考えるとRが十分大きいとき
I=I1+I2・・・(1)になります。
Iは留数定理よりI=2*π*i*Res[f,i*b]=π*exp(-a*b)/b・・・(2)
I2はz=R*exp(i*θ)とおき
I2=∫[0,π]exp(i*a*R*exp(i*θ))/(R*exp(i*θ)^2+b^2)dθ
=∫[0,π]exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)/(R^2*exp
(2*i*θ)+b^2)dθ
三角不等式より
0<｜I2｜<∫[0,π]｜exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)｜/｜(R^2*exp(2*i*θ)+b^2)｜dθ<π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜・・・(3)
ここでsinθ >0よりでexp(-a*R*sinθ)<1なので
π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜<π*R/｜-R^2+b^2｜となり
π*R/｜-R^2+b^2｜はR-->∞で0なので結局
｜I2｜-->0 なので(1)より
I1=π*exp(-a*b)/bが答えです。
これはわかるのですが、スタートで
i*sin(a*x)ではなく-i*sin(a*x)を加えても変わらないですよね？
そこで-i*sin(a*x)を加えて実際にやってみると
(2)の部分はπ*exp(a*b)/bに変わってしまい、また
(3)の部分はπ*R*exp(a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜となってしまいこれでは
R-->∞で発散するように思えます。
どこがまちがっているのでしょうか
お礼
やはり、正則という条件が必要なのですね。問題にはそのような表記がなかったので、今回質問させていただきました。回答ありがとうございました。