複素関数の一次変換についての問題

質問

一次変換ｗ=z/z-iについて、以下の問いに答えよ。
１）右半平面Rez>=0,上半平面Imz>=0,単位円板|z|>=1の像をそれぞれ図示せよ。
この図はどうやって探しますか、わからないです。
２）直線Rew=2に移る原像は何かを調べよ。

お願いします、誰か分かるなら、教えてください

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

まず、間違いの訂正
誤：単位円板|z|>=1
正: 単位円板|z|<=1
誤：一次変換 w=z/z-i
正：一次変換 w=z/(z-i)

1)
z=x+iy(x,yは実数)とおくと
　Re z >=0 は　x>=0 …(A)
　Im z >=0 は y>=0 …(B)
　|z|<=1 は　√(x^2+y^2)<=1 ⇒ x^2+y^2=1 …(C)

w=u+iv（u,vは実数）とおくと
　u+iv=z/(z-i)=(x+iy)/{x+i(y-1)}
　x+iy=(u+iv){x+i(y-1)}=ux+v(1-y)+i{vx+u(y-1)}
実部、虚部を比較して
　x=ux+v(1-y) …(D)
　y=vx+u(y-1) …(E)
x,yの連立方程式として解くと
　x=v/{(u-1)^2 +v^2} …(F)
y=(v^2+u^2-u)/{(u-1)^2 +v^2} …(G)
(F),(G)を(A),(B),(C)に代入すると
v>=0, {u-(1/2)}^2+v^2>=(1/2)^2
u^2+v^2>=0 (常に成立)

整理すると
　{u-(1/2)}^2+v^2>=(1/2)^2 (v>=0)
または
　｜w-(1/2)|>1/2 (Re w>=0)
（中心w=1/2, 半径1/2の円の周上および外側の領域でRe w >=0の領域）

2)
　直線Rew=2　から　u=2　…(H)
1)の（D),(E)からuを求めると
u=(y^2-y+x^2)/(y^2-2y+x^2+1)…(I)

(H),(I)から
　(y^2-y+x^2)=2(y^2-2y+x^2+1)

∴ x^2+(y-(3/2))^2=(1/2)^2 …(答え)
zで書くと
　|z+(3/2)i|=1/2　 …(答え)
(中心 z=i(3/2), 半径1/2の円)

お礼

ありがとうございました。初めて複素関数について勉強し始め、問題のやり方はわからない。詳しくしえていただいて助かりました。