複素関数論のついて

質問

この問題の解き方を教えて下さい
w = 1 / (z - i)によって円|z|=1 (z≠i)
はw平面上のどのような図形に移るか？
Ans. Im(w) = 1/2

|z| = |(1/w) + i| = 1
|1 + iw| = |w|
w = u+ivを代入
|(1-v)+iu|=|u+iv|
(1-v)^2 + u^2 = u^2 + v^2
v = 1/√2になってしまいます。
間違っている箇所を教えて下さい。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

>(1-v)^2 + u^2 = u^2 + v^2
>v = 1/√2になってしまいます
1行目を整理すると

1-2v+v^2+u^2=u^2+v^2

1-2v=0,v=1/2

となりますが．

これは実部虚部に分けずそのままやったらどうですか．

まずzについて解きます．

z=i+1/w(w≠0)

|z|=1よりz^*z=1

(-i+1/w^*)(i+1/w)=1

1-i/w+i/w^*+1/(w^*w)=1

-i/w+i/w^*+1/(w^*w)=0

-iw^*+iw+1=0

w-w^*=-1/i

(w-w^*)/(2i)=1/2

この左辺はIm(w)であるから，

Im(w)=1/2(w≠0)

お礼

根本的なところでミスをしてました。
ご回答ありがとうございます！