differential equation

質問

H(t)=∫Ｙ(v)exp(W(t))dv
[t,∞]
の計算をｔ微分するとどうなるか計算ができません。
ご存知の方、どうぞお教えください。
ヒントでも構いません。
どうぞ、よろしく御願いいたします。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

直前の回答に対する補足の中に、

> limH(v)exp(-w(t)）＝０
>（v→∞）
>w(t)=-∫(r(u)+p)du , [t,v]
>を考慮して....

とあるのに引っかかりました。w(t)はじつはvの関数なんじゃありませんか？さもないと
v→∞において、limH(v)exp(-w(t)）=exp(-w(t)）limH(v)
であるから、exp(-w(t)）の出番は無いはず。

●だから、ホントの問題は
W(t)の右辺に含まれるvは単なる定数じゃなく、H(t)=integral....dvの積分変数vと同じvであって、
W(t,v)= -integral{u=t～v} (r(u)+p) du
であって、
H(t)=integral{v=t～∞}Y(v)exp(W(t,v))dv
これを微分しろ、という事なんじゃありませんか？？

これを前の問題に帰着するためには、
W(t,v)= -integral{u=t～v} (r(u)+p) du
= W(t,c)+W(c,v)　（cは適当な定数）
と考えちゃうと簡単です。もちろんW(t,c)=-W(c,t)です。するてえと、

H(t)=integral{v=t～∞}Y(v)exp(W(t,v))dv
=integral{v=t～∞}Y(v)exp(W(t,c)+W(c,v))dv
=integral{v=t～∞}Y(v)exp(W(t,c))exp(W(c,v))dv
=exp(W(t,c)) integral{v=t～∞}Y(v)exp(W(c,v))dv
ですから
f(t) = exp(W(t,c))
g(t)=integral{v=t～∞} Y(v)exp(W(c,v)) dv
とすれば
H(t) =f(t)g(t)
H'(t)=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)
f'(t) = (dW(t,c)/dt)f(t)=(r(t)+p)f(t)
g'(t)= Y(t)exp(W(c,t))
だから、
H'(t)=(r(t)+p)f(t)g(t)+f(t)Y(t)exp(W(c,t))
=(r(t)+p)H(t)+Y(t)exp(W(c,t))exp(W(t,c))
=(r(t)+p)H(t)+Y(t)exp(W(t,c)+W(c,t))
=(r(t)+p)H(t)+Y(t)exp(0)
=(r(t)+p)H(t)+Y(t)
となって、めでたく「実際の解答」に一致いたします。

これでお悩みは解決かなあ？

お礼

ご回答たいへん有り難うございます。
深く感謝しております。
めでたく「実際の解答」が得られて嬉しく思っております。

回答No.4

stomachman

補足を拝見しました。「実際の解答」ってのは一体どこから来たのか知りませんが....

W(t) = -integral{u=t～v} (r(u)+p) du, rはuだけの関数。p,vは定数。（このvはH(t)の積分に出てくるvとは別物。）
H(t) = integral{s=t～∞} Y(s) e^(W(t)) ds , Yはsだけの関数。
（紛らわしくないように、積分変数をvじゃなくsと書きました。）
ってことですと、'をtによる微分として
f(t)=e^(W(t))
g(t)=integral{v=t～∞} Y(v) dv
と書けば
H(t)=f(t)g(t)
（よって、g(t)=H(t)/f(t)）
そこで、
H'(t) = f'(t)g(t)+f(t)g'(t)
f'(t)= W'(t) f(t)
g'(t)=-Y(t)
また
W(t) = -integral{u=t～v} (r(u)+p) du
より
W'(t)=r(t)+p
従って、
H'(t)=(r(t)+p)H(t)-Y(t)e^(W(t))
です。

●簡単な例で確かめましょう。（<=要するに検算をやれば良いんですよ。）
たとえば、
∀u; r(u) = 0, p=1, ∀s; Y(s)=e^(-s) .... (式1)
とします。すると
W(t) = (t-v)です。
H(t) = integral{s=t～∞} Y(s) e^(W(t)) ds
= integral{s=t～∞} e^(-s) e^(t-v) ds
= e^(t-v) integral{s=t～∞} e^(-s) ds
= e^(t-v) [e^(-t)]=e^(-v)
ですね。よってH'(t)=0です。

もし
H'(t)=(r(t)+p)H(t)-Y(t)e^(W(t))
だとすると、式1を代入すれば、確かに
H'(t)=e^(-v)-e^(-t)e^(t-v)=0
となります。
　しかし、もし「実際の解答」：
ｄＨ(t)/dt={[r(t)+p]H(t)-Y(t)}
の通りだとすると
ｄＨ(t)/dt={e^(-v)-e^(-t)}
で答が合いません。

　以上から、「実際の解答」がスカタンであるか、mickychanさんが問題を書き写し間違えたか、あるいはstomachmanが高校数学からやり直すべきか、のどれかであろうと考えられます。

補足

ご回答たいへん有り難うございます。
詳細にわかりやすく解説して頂いて心から感謝しております。

limH(v)exp(-w(t)）＝０
（v→∞）
w(t)=-∫(r(u)+p)du , [t,v]
を考慮してもう一度考えてみます。

また、ご質問するかもしれませんが、どうか宜しく御願い致します。

回答No.3

stomachman

補足を拝見しました。

合成関数の微分法を使います。
f(t)=exp(W(t))
ここで
f=exp(w), w=W(t)
とすれば
df/dt = (df/dw)(dw/dt)

この場合、指数関数は(df/dw)=fですから
df/dt = (dW/dt) f(t)
ちゅうことになります。

ここはひとつ、いまさらと言わずに高校の教科書や参考書を手に入れて見ては如何でしょう？結構要領よく説明してあって分かりやすいものですよ。

補足

ご回答有り難うございました。
高校の教科書から、やりなおしてみます。
たいへん、申し訳ありませんが、一点確認したいことがございます。
w(t)=-∫(r+p)du　ｒはuの関数です。
[t,ｖ]を考えています。
先ほどの質問とご回答を考慮しますと、
ｄＨ(t)/dt={[r(t)+p]H(t)-Y(t)}exp(w(ｔ))となってしまいました。
実際の解答は、ｄＨ(t)/dt={[r(t)+p]H(t)-Y(t)}で、
exp(w(ｔ))が消えてしまうのですが・・・
なにが原因なのでしょうか？
１週間ぐらい考えているのですが、原因が不明です。
お手数をおかけして、大変申し訳ございません。
どうぞ、宜しく御願い致します。

回答No.2

noname#1499

ファイルのダウンロードが長くて暇を持て余していたので、
参考までに回答してみました～☆
答えはstomachmanさんが答えていらっしゃるとおりです。
要するに、
∫Ｙ(v)exp(W(t))dv　の部分は変数ｖに関する
積分なのでｔの関数であるexp(W(t))は積分に寄与しないので
まず簡単の為に外に出してしまいます。で、残った積分∫Ｙ(v)dv は
境界条件が∞とあるｔで与えられているので積分したものが
ｔの関数となってしまうのです。例えばＹを積分したものをＦとおくと、
∫Ｙ(v)dv = F(∞)－F(t)
っと言った具合です。ｔの関数です。
ここでＦ(∞)はある定数（積分定数）なので微分するときえてしまいますが、
F(t)はｔの変数なので微分しても残ります。F(t) を微分したものはＹ(t)です。
見かけの変数がｖからｔへ変わっただけです。
従って答えは、stomachmanさんの計算方法にしたがって
ｄＨ/ｄｔ＝exp(W(t))[ｄＷ/ｄｔ∫Ｙ(v)exp(W(t))dv＋Ｙ(ｔ)]
となります。
ではでは。

回答No.1

stomachman

H(t) = integral{v=t～∞} Y(v) e^(W(t)) dv
dH/dtを求めようというわけですね。まずはvと無関係なe^(W(t))を積分の外に出しちゃいます。
H(t) = e^(W(t)) integral{v=t～∞} Y(v) dv
簡単のために
f(t) = e^(W(t))
g(t)=integral{v=t～∞} Y(v) dv
と書くことにすれば、
H(t) = f(t)g(t)
すると積の微分の公式を使って、
dH/dt = (df/dt)g(t)+ (dg/dt)f(t)
となります。
df/dt = (dW/dt)f(t)
dg/dt=-Y(t)
ですから、
dH/dt=f(t)[(dW/dt)g(t)-Y(t)]
ちゅうことになります。

なおこいつはdifferential equation（微分方程式）の話ではありませんヨ。

お礼

補足の続きで申し訳ございません。
dg(x)/dx=exp(ax)
g(x)=exp(ax)/a
なので、df/dt = (dW/dt)f(t)
であるということですか？

補足

ご回答有り難うございます。
一点、わからないところがあります。f(t) = e^(W(t)) がdf/dt = (dW/dt)f(t)
になるのか教えていただけますか？
基本的なご質問をして申し訳ありません。