物理か数学の質問です。

質問

物理化数学の質問です。

次の問題の答えをできるだけ詳しく書いてください！

この問題の解答がなくて困ってます(T_T)

1.
TとVの微小変化に対してQは
dQ=C1dT+(C2T/V)dV
のように変化する。ただし、C1、C2はTとVに依存しない。定数。

（１）積分因子法を用いて完全微分にせよ。微分因子をT^αV^βとし、T^αV^βdQが完全微分になるように指数α、βを決定せよ。
（２）求めた完全微分系dSについて不定積分を計算せよ。微分経路(T0,V0)→（T0,V)→(T,V)に沿って微分し、S(T,V)→S(T0,V0)を計算せよ。

2.
水飲み鳥（平和鳥）の作動原理を述べよ。第一種永久機関とみないｓてよいかどうか。第二種永久機関とみなしていいかどうか説明せよ。

回答No.1

htms42

ｄｆ（ｘ、ｙ）＝ｇ（ｘ、ｙ）ｄｘ＋ｈ（ｘ、ｙ）ｄｙ　　（式１）
が全微分であれば
ｇ＝∂ｆ／∂ｘ、ｈ＝∂ｆ／∂ｙ
です。
この時、∂^2ｆ／∂ｘ∂ｙ＝∂^2/∂ｙ∂ｘ　が成り立ちますから
∂ｇ／∂ｙ＝∂ｈ／∂ｘ　　　(式2)
です。
逆に(式2）が成り立てば(式1)が全微分になっていることが保証されます。
全微分であることが分かれば、ｇ、ｈからｆを求めることができます。一般的に求める手順は微分方程式の教科書に載っているはずです。全微分型の常微分方程式という項です。
ｇ、ｈが（式2）を満たしていない時でも、ある関数ｒ(ｘ、ｙ)を使って書き換えたＧ＝ｒｇ、Ｈ＝ｒｈ　が　
∂Ｇ／∂ｙ＝∂Ｈ／∂ｘ　を満たせば
式１の右辺を全微分に書き換えることができます。
この時のｒが積分因数です。

ご質問の問題ではこのｒをＴ^αＶ^βとして「α、βを決定せよ」ということになっています。
でもこの問題の場合、右辺をＴで割るということで簡単に全微分に変形することができます。
変形された式の中ではｄＴの係数はＴのみの関数、ｄＶの係数はＶのみの関数になっているからです。
右辺＝Ｃ１ｄＴ／Ｔ＋Ｃ２ｄＶ／Ｖ
　　＝Ｃ１ｄlnＴ＋C2ｄlnＶ
これはある関数Ｓの全微分ｄＳです。Ｔ，Ｖ空間の中で積分ができます。
このＳがエントロピーと呼ばれている量です。

※熱力学の教科書で「完全微分」という言葉がよくつかわれているようですが「誤用」です。１つの変数だけを少し変化させた時の変化率を表す「偏微分」と対になるのはすべての変数を少し変化させた時の変化である「全微分」です。ｐａｒｔｉａｌとｔｏｔａｌの関係です。微分方程式の教科書では「完全微分型の微分方程式」という言葉がよく使かわれています。これも誤用です。正しくは「全微分型の常微分方程式」です。数学でも物理でもおかしな使い方が広まっていることになります。
数学辞典で調べても「完全微分」という言葉は出てきません。「全微分のことを完全微分と言うことがある」という文章も出てきていません。出てくるのは「微分形式が完全（exact）である」という文章です。ベクトル空間を拡張したテンソル空間で出てくる概念です。全微分は「一次の完全な微分形式」になっています。しかし、完全な微分形式は一次だけでなく一般の次数の微分形式すべてに対して適用可能な概念です。外微分形式を扱っている教科書（たとえば　山本、中村　解析力学I）には説明が書かれています。

「水飲み鳥」は見たことがありますか。
知らなければ答えようがありませんね。
「水飲み鳥」で検索すると出てきます。
説明の怪しいものもあるようですから構造のはっきりわかる画像があるものを探して動作原理を考えてみるといいでしょう。お尻のところが液溜めになっています。最初くちばしを水の中に入れてから揺らします。くちばしにはフェルトが張り付けてありますから水を含みます。この水が蒸発することで頭の部分が冷やされます。お尻の部分は室温のままですから液体の温度は室温に等しいです。ガラス管の中の液体の温度と蒸気の接している頭部、くちばしの部分に温度差が生じています。液体から蒸発する蒸気はくちばしの部分で冷やされて凝縮します。お尻の部分にある空間にも蒸気がたまっています。上の空間と下の空間にたまっている蒸気の蒸気圧に違いが生じています。ガラス管の中を液が上がっていくのはこの蒸気圧の差によるものです。液体が上がっていくと重心が上に移動しますのでだんだんと振幅が大きくなっていって頭のほうが下がってしまいます。コップの中に頭を突っ込んだ状態になるとガラス管の中を蒸気が通過することができるようになりますから上下の蒸気圧が等しくなります。同時に上に溜まっていた液体が下に移るということも起こります。くちばしのフェルトに新たに水を含ませるということも起こります。これで初期状態が再現されました。運動が繰り返します。

エネルギーの移動が巧妙です。
アインシュタインが日本に来た時に「これは永久機関ではないのか」と言って感心したという話が伝わっています。昔は内部が見えないものが多かったようですから不思議に思うでしょうね。
温度差の生じる源は水の蒸発による気化熱です。
蒸発が持続的に起こるというのは室内であっても開放空間とみなしても構わないという環境条件によるものです。密閉した箱の中でやれば運動は起こりません。水蒸気が飽和していれば新たな蒸発は起こりませんので温度差は生じないからです。