differential equation

質問

y' = y + cos(x)、 y(0)=0　から
x=0.3　のときの　y　の値を求めたいのですが、

dy/dx = y + cos(x)
dy = (y + cos(x))dx

となってこの先が進みません。
どうすれば左辺にyのつくものを
右辺にxのつくものを移動することができますか？

よろしくお願いします。

回答No.3

mmky · ベストアンサー

「y' = y + cos(x)、 y(0)=0　から
x=0.3　のときの　y　の値を求めたいのですが、 」
ですか。#1のkomomomoさんや#2のnubouさんの指針もありますので、
参考までに
線形微分方程式の一般解は、#1のkomomomoさんや#2のnubouさんの指摘のように一般解の公式を使わないとだめですね。
y'+P(x)*y = Q(x)
y=e＾-(∫P*dx){∫e＾(∫P*dx) * Q dx +C}
ですから、
y' - y = cos(x)
y=e＾-(∫-1*dx){∫e＾∫-1*dx * cosxdx +C}
=e＾x{∫e＾-x * cosxdx +C}
=e＾x{∫e＾-x * cosxdx +C｝
cosx=(e＾ix+e＾-ix)/2　だから、{}なかを変形して
∫e＾-x * cosxdx= ∫e＾-x * (e＾ix+e＾-ix)/2 dx
=∫ {e＾(i-1)x+e＾(-i-1)x}/2 dx
=(1/2){e＾(i-1)x/(i-1)+e＾(-i-1)x/(-i-1)}
=(1/2)e＾-x{e＾ix/(i-1)+e＾-ix/(-i-1)}
=(1/2)e＾-x{(-i-1)(e＾ix)+(i-1)e＾-ix)}/2
=(1/2)e＾-x{-cosx-i*isinx} :sinx=(e＾ix-e＾-ix)/2i
=(1/2)e＾-x{-cosx+sinx}
ということで、
y=e＾x{∫e＾-x * cosxdx +C｝
=e＾x{(1/2)e＾-x{-cosx+sinx}+C}
=(1/2){-cosx+sinx}+Ce＾x
ここで条件、x=0, y=0　を与えると、
y=(1/2)*(-1)+C , C=1/2
だから一般解は、
y=(1/2){-cosx+sinx}+(1/2)e＾x
ですね。
「検算してみますと、
y'=(1/2){sinx+cosx}+(1/2)e＾x
y'-y=cosx　 になりますね。」
そこで、
x=0.3
y(0.3)=(1/2){-cos(0.3)+sin(0.3)}+(1/2)e＾(0.3)
でy(0.3)が求まりますね。
これって意外と面倒なんですよね。
参考になるかな。

回答No.2

nubou

ｙ’（ｘ）＋Ｐ（ｘ）・ｙ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）
と
（ｙ（ｘ）・ｅｘｐ（∫（０＜ｓ＜ｘ）ｄｓ・Ｐ（ｓ））’
＝Ｑ（ｘ）・ｅｘｐ（∫（０＜ｓ＜ｘ）ｄｓ・Ｐ（ｓ）
は同じ式です

回答No.1

komomomo

まず与えられた式を、
dy/dx+P(x)y=Q(x)
と見て、
e^∫p(x)dxを求めて解きましょう。
それから、∫e^(-x)*cos(x)dx が出てくると思いますが、これは
∫udv=uv-∫vdu
の公式を使って解くと良いと思います。