一階微分方程式

質問

この微分方程式の解き方がわかりません。どなたかわかる人がいらしたら、教えてください。
Mdv(t)/dt=-ζv(t)+a*sin(ωt)
初速度をv(0)とおくと、この線形微分方程式の解は、
v(t)=(v(0)+(aω/M)/(ω^2+(ζ/M)^2)exp(-ζt/M)+(a/M)sin(ωt-δ)/√(ω^2+(ζ/M)^2)
公式どおり計算てみましたが、部分積分のところが上手に出来ません。その部分積分は、
v(t)=exp(-ζt/M)[a/M∫exp(ζt/M)*sin(ωt)dt+v(0)]
のインテグラルの部分です。

回答No.2

qntmphscs · ベストアンサー

＃１です。sin、cosのωが落ちてました。

I＝(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)-(ω/α)*∫exp(αt)*cos(ωt)dt

＝(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)
　-(ω/α)*{(1/α)*exp(αt)*cos(ωt)+(ω/α)*∫exp(αt)*sin(ωt)dt}

＝(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)
　-(ω/α^2)*exp(αt)*cos(ωt)-(ω^2/α^2)*∫exp(αt)*sin(ωt)dt

＝(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)
　-(ω/α^2)*exp(αt)*cos(ωt)-(ω^2/α^2)*I

回答No.1

qntmphscs

I＝∫exp(αt)*sin(ωt)dtと置いて部分積分を２回実行します。

I＝(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)-(1/α)*∫exp(αt)*cos(ωt)dt

＝(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)
　-(1/α)*{(1/α)*exp(αt)*cos(ωt)+(1/α)*∫exp(αt)*sin(ωt)dt}

＝(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)
　-(1/α^2)*exp(αt)*cos(ωt)-(1/α^2)*∫exp(αt)*sin(ωt)dt

＝(1/α)*exp(αt)*sin(ωt)
　-(1/α^2)*exp(αt)*cos(ωt)-(1/α^2)*I

両辺に現れたIについて解けば∫exp(αt)*sin(ωt)dtが出ます。
sinとcosのパートを合成すれば片付くように見えますが参考になりますか？