2乗平均とガウス分布の関係

質問

＜v^2＞=(1/T)∫0→T(v^2)dt=∫0→∞(v^2)*P(v)dv＝σ^2
の解法のヒントを教えてください

ちなみに
＜v^2＞：vの2乗平均
P(v)：ガウス分布（1/√2*σv）*exp(-v^2/2σ^2)です。
σ：分散
です。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> ＜v^2＞=(1/T)∫0→T(v^2)dt=∫0→∞(v^2)*P(v)dv＝σ^2

(1/T)∫0→T(v^2)dtというのが良くわかりませんが、＜v^2＞＝σ^2を証明したいのですよね。
解法のヒントは、vP(v)σ^2をvで微分してみることです。

あと、
> P(v)：ガウス分布（1/√2*σv）*exp(-v^2/2σ^2)です。
> σ：分散
は、
P(v)：ガウス分布{1/(√2*σ)}*exp(-v^2/2σ^2)です。
σ：標準偏差
の間違いですよね。

お礼

ヒントを頂きましたとおりvP(v)σ^2をvで微分してみました。
d(vP(v)σ^2)/dv=σ^2・d(vP(v))/dv
d(vP(v))/dv=P(v)+vdP(v)/dv
となりP(v)にガウス分布の式を代入してvで微分すると
d(vP(v))/dv = P(v)-{v^2/（√(2π)σ^2)}*exp(-v^2/2σ^2)
となりましたが、ここまで合っているでしょうか？

違っていれば、お手数おかけしますがもう少しヒントを頂けないでしょうか？

補足

ご指摘のとおり標準偏差の間違いです。

回答No.3

noname#227064

> さらに、積分の式のＰにガウス分布を代入して-∞→∞まで変数vで積分したらいいのでしょうか？

実際に代入しなくとも、確率密度関数の定義とvP(v)が奇関数であることから、
∫v^2P(v)dv
= ∫{P(v)σ^2-d(vP(v)σ^2)/dv}dv
= σ^2∫P(v)dv-σ^2∫{d(vP(v))/dv}dv
= σ^2-σ^2[vP(v)](-∞,∞)
= σ^2
となることがわかります。

お礼

すみません、度々お聞きしまして(-_-;)
詳しく説明していただいたおかげで、すっきり納得しました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#227064

> d(vP(v))/dv = P(v)-{v^2/（√(2π)σ^2)}*exp(-v^2/2σ^2)
> となりましたが、ここまで合っているでしょうか？

P(v)の微分が間違っています。
正しくは、
d(vP(v))/dv = P(v)-{v^2/（√(2π)σ^3)}*exp(-v^2/2σ^2)
なので、
d(vP(v)σ^2)/dv = P(v)σ^2-v^2P(v)
v^2P(v) = P(v)σ^2-d(vP(v)σ^2)/dv
∫v^2P(v)dv = ∫{P(v)σ^2-d(vP(v)σ^2)/dv}dv
となります。

今更ながら気付いたのですが、
> ＜v^2＞=(1/T)∫0→T(v^2)dt=∫0→∞(v^2)*P(v)dv＝σ^2
の積分範囲は0→∞ではなくて-∞→∞ではないでしょうか？

お礼

さらに、積分の式のＰにガウス分布を代入して-∞→∞まで変数vで積分したらいいのでしょうか？

補足

度々、すみません。おそらく打ち間違えたんだと思います。