すこしやりがいのある積分の微分

質問

この積分をｔで微分する問題です．

　　　∞
W(t)=∫exp(-rs)*R(s)ds
　　　ｔ
です．

僕の考えとしては，
まず，定積分を求め，ｔの変数として求めてから，
ｔで微分すると思います．
つまり，exp(-rs)部分は，∞で，０となり，計算がしやすくなるはずです．しかし，∫の中身がｓに関する合成関数なのです．部分積分をやったり，いろいろ試したのですが，複雑に考えてしまい，できませんでした．

最終的に証明したい結果は，
上記積分を，ｔで微分すると，

∴
ｒ＝R/W+{(dW/dt)/W}
※(dW/dt)は，Wのドットです．

となる関係を導出したいわけです．
この関係は答えです．
どうぞ，よろしくお願いします．

回答No.3

mmky · ベストアンサー

追伸まで
#1mmkyです。＃2のibm_111さんのご指摘のとおりですね。
確かに、
W(t)={R(s)}⇒W'(t)={R'(s)}において飛躍はありますね。e＾-rs を変換子として、W(t)={R(s)}を定義し、その上で、微分形の変換をW'(t)={R'(s)}　と定義すればということなんですね。W(t)やW'(t)は単に表示記号という見方ですね。
それにしてもちょっと変則的すぎましたか。

質問者さんにわかるように書かないとだめかな。
例えば、f(t)のフーリエ変換(F)の片側はラプラス変換(L)になりますね。
F(p)=L{f(t)}=∫[0→∞]e＾-pt*f(t)dt
f'(t)のラプラス変換は、
L{f'(t)}=∫[0→∞]e＾-pt*f'(t)dt
=p*L{f(t)}=p*F(p)
になりますね。これをあらためてF'(p) と定義したということなんです。
質問の式は、F→W, f→R,ｔ→s, p→r, 0→tになっていますね。でも同じ形式だから、
W(r)=L{R(s)}=∫[t→∞]e＾-rs*R(s)ds
そんな感じで書いてます。
参考になるかどうか。

お礼

問題に難があり，ご迷惑をおかけしました．ちょっと分かりにくいところもありましたが，解法などたいへん参考になりました．詳しい説明ありがとうございました．

回答No.7

siegmund

siegmund です．

問題が違っていて，本当は
(1)　　W(t) =∫{-t～∞} exp[-r(s-t)] R(s) ds
ですか．

なるほど，それならわかりました．
(2)　　r = R/W + {(dW/dt)/W}
の導出は grothendieck さんの書かれているとおりです．

さて，意味はむしろ(2)の分母を払った
(3)　　dW(t)/dt -rW(t) = -R(t)
から出発する方がよいでしょう．
これはいわゆる一階線形微分方程式ですから，
標準的解法によって解けます．
今の場合ですと，両辺に exp(-rt) をかけて，左辺が
(4)　　exp(-rt)dW(t)/dt - exp(-rt)rW(t) = (d/dt) {exp(-rt) W(t)}
であることを使えば容易に解が求められます．
もとの積分(1)は，この方法で求めた解(で，適当な境界条件をとったもの)
になっています．

お礼

やはり，そうでしたか．どうもありがとうございます．この解法たいへん参考になりました．

回答No.6

grothendieck

すみません。私の先ほどの回答で「自然対数をとってみると」というところは「自然対数をとってtで微分してみると」に訂正して下さい。

回答No.5

grothendieck

補足に書かれている0時点からの定積分をt時点からの定積分に直すというのはよく分かりませんが…パラメーターが積分区間と被積分関数の両方に入っている場合のパラメーターに関する微分ということでお答えします。f(s,t)について適当な連続性や偏微分と積分の交換可能性を仮定すると
　(d/dt)∫{t～}f(s,t)ds
　= lim(1/Δt){-∫{t～t+Δt}f(s,t+Δt)ds + ∫{t～}(f(s,t+Δt)-f(s,t))ds}
　= -f(t,t) + ∫{t～}∂f(s,t)/∂tds
という公式が(たぶん)成り立ちます。(dW/dt)/Wがあるので対数にしたら良さそうということで
　W(t)=∫{t～}exp(-r(s-t))*R(s)ds
の両辺の自然対数をとってみると
　左辺=(dW/dt)/W
右辺は上の公式を使うと
　右辺=(-R(t)+rW)/W
となるので
　r=(dW/dt)/W + R/W
となります。それにしても面白い積分ですね。どのような意味があるのか教えてもらえませんか。

お礼

どうも，ありがとうございました．問題（本）が間違っているとも知らず，迷惑おかけしました．
お礼が遅れましたが，意味については，
無限大まで続くR（ｓ）という関数があり，あるｔ時点でのR（ｓ）の現在価値を求めるといった論理です．exp(-rｓ)のｒは割引率のようです．債券など投資計算に用いられたりします．

回答No.4

siegmund

え～と，仮に
(1)　　R(s) = 1
としてみると，積分は簡単で
(2)　　W(t) =∫{-t ～∞} exp(-rs) ds = (1/r) exp(-rt)
です．
(4)　　R/W = r exp(rt)
(5)　　(dW/dt)/W = - exp(-rt) / {(1/r) exp(-rt)} = - r
となって，
(6)　　r = R/W + {(dW/dt)/W}
はなりたっていないように思えますが...

私，何か勘違いしていますかね．

お礼

上でのお礼に代えさせていただきます．ありがとうございました．

回答No.2

noname#108554

rはtの関数ですか？それとも、定数？

ちなみにmmkyさんの答えは、
W(t)={R(s)}⇒W'(t)={R'(s)}においてギャップがあるのでは？

補足

ご多忙のところみなさんの意見ありがとうございます．ちょっと，いまは時間がとれそうにないので，ちょっとあとでゆっくり見させて頂きます．とりあえず，ibm111さんの質問で，ｒは定数です．

それと，
問題自体が間違っていると指摘する，周りの識者（おおげさ）もいました．
つまり，

　　　∞
W(t)=∫exp(-r（ｓ－ｔ）)*R(s)ds
　　　ｔ

とすべきだということです．
つまり，0時点からの定積分を，ｔ時点の定積分に直すので，そうすべきだというのです．．．たしかに，答えに行きそうな気がしています．

回答No.1

mmky

参考程度に

W(t)=∫[t～∞]exp(-rs)*R(s)ds
で与えられた形式は、ｓ→∞、exp(-rs)*R(s)→0
という積分表示形なので、直接的に微積分を行うのではなく、ラプラスの積分表示と同じように、
この形式が関数R(s)の変換形式と考えればよく,
R(s)の積分変換形式を{R(s)}=W(t) と置けば、
W(t)={R(s)}=∫[t～∞]exp(-rs)*R(s)ds
W'(t)={R'(s)}=∫[t～∞]exp(-rs)*R'(s)ds
=R(s)exp(-rs)|[t～∞] +r*∫[t～∞]exp(-rs)*R(s)ds
=-R(t)exp(-rt)+r*W(t)
r=W'(t)/W(t)+R(t)exp(-rt)/W(t)
ｔを t→0　に取れば、
r=W'(t)/W(t)+R(t)/W(t)
の形式が得られます。
そんな感じにも取れますね。
参考程度に

お礼

上でのお礼に代えさせていただきます．早々の回答ありがとうございました．