教えてください。

質問

y＝x^3上の点Ｐの接線を、Ｐを中心に反時計回りに45度回転した直線をＬとする。
Ｌがy=x^3と相異なる3点で交わるときのＰの範囲を図示せよ。

という問題がありました。
僕はＰを(p、p^3)とし、接線を求めて、45度回転した直線を求めたところ、傾き(1+3p^2)/(1-3p^2)と出すことができました。
あとはf(x)=x^3－Ｌ(x)を微分して、極値を求めて３解持つようにすればよいのですが、f'(x)＝0の解が煩雑で、この解をf(x)に代入して解こうとすると式がぐちゃぐちゃになってしまいます。
方針としては基本に忠実にやっていて、おかしくは無いと思うんですが・・・
手がかりを教えてください。

回答No.2

tksmsysh

>Ｐを(p、p^3)とし、接線を求めて、45度回転した直線を求めたところ、傾き(1+3p^2)/(1-3p^2)と出すことができました。あとはf(x)=x^3－Ｌ(x)を微分して、極値を求めて３解持つようにすればよい

方針はこれで良いですよ。ただし、Pはy=x^3上の点ですから、
L:y={(1+3p^2)/(1-3p^2)}(x-p)+p^2
より
f(x)=x^3-{(1+3p^2)/(1-3p^2)}(x-p)-p^2=0
はx=pを解に持ちます。
よって、因数分解すれば、
f(x)=(x-p)[x^2+px+p^2-{(1+3p^2)/(1-3p^2)}]
したがって、x^2+px+p^2-{(1+3p^2)/(1-3p^2)}=0がp以外の異なる2つの実数解をもつpの条件を求めればよいのです。
g(x)=x^2+px+p^2-{(1+3p^2)/(1-3p^2)}とおけば、
求める条件はg(p)≠0かつg(x)=0の判別式DがD>0となるpの条件です。
g(p)=3p^2-{(1+3p^2)/(1-3p^2)=-(1+9p^4)/(1-3p^2)
よって、g(p)≠0は常に成り立つ。
D=p^2-4{p^2-(1+3p^2)/(1-3p^2)}=(9p^4+9p^2+4)/(1-3p^2)
したがって、D>0⇔1-3p^2>0⇔-√3/3<t<√3/3

以上より、求めるpの範囲はy=x^3上の-√3/3<x<√3/3の部分です。図示はご自分でお願いします。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_u

図示するとわかるように、直線の傾きが 90度を超えた時点で 3点で交わらなくなりますよね。

とはいえ、その「ぐちゃぐちゃ」な式と格闘するのも一興かと。