数学の問題の質問です。

質問

手がつけれずに困ってます。

１個のさいころを投げて出た目をαとし
このαの値に対して関数f(x)=x^3+(a-3)x+1
を考える。

I. f(x)が極値をもつ確立を求めよ。

II. f(x)=0の実数解がただ1つである確立を求めよ。

III. 曲線C:y=f(x)と直線L:y=x+1とで囲まれた部分の面積の期待値を求めよ。
ただし、CとLの共有点が１つのとき面積は0とする。

という問題の詳しい解説お願いします。

回答No.2

ferien

１個のさいころを投げて出た目をαとし
このαの値に対して関数f(x)=x^3+(a-3)x+1
>を考える。

問題についてですが、f(x)=x^3+(α-3)x+1　なのではないかと思いました。
以下は、そのつもりで書きます。

>I. f(x)が極値をもつ確立を求めよ。
ｆ'（ｘ）＝３ｘ^2＋（α－３）
極値もつ条件は、ｆ'（ｘ）＝０が異なる２解をもつことだから、
判別式Ｄ＝－４×３×（α－３）＞０のとき、α＜３
だから、α＝１，２のとき、確率＝２×（１／６）＝１／３

>II. f(x)=0の実数解がただ1つである確立を求めよ。
グラフがｘ軸と１点で交わることだから、（グラフを描いてみると）
α＝２のとき、極大値＞０，極小値＞０だからｘ軸と１個の交点しか持たない。
α＝３，４，５，６のとき、ｆ'（ｘ）≧０だから、グラフは単調増加でｘ軸と１個の交点しか持たない。
よって、確率＝５×（１／６）＝５／６

>III. 曲線C:y=f(x)と直線L:y=x+1とで囲まれた部分の面積の期待値を求めよ。
ただし、CとLの共有点が１つのとき面積は0とする。
面積が求められるのは、α＝１，２，３のとき、それぞれの目の出る確率は１／６
α＝１のとき、
面積＝２×積分（０～ルート３）｛（ｘ＋１）－（ｘ^3－２ｘ＋１）｝＝９／２
α＝２のとき、
面積＝２×積分（０～ルート２）｛（ｘ＋１）－（ｘ^3－ｘ＋１）｝＝２
α＝３のとき
面積＝２×積分（０～１）｛（ｘ＋１）－（ｘ^3＋１）｝＝１／２
面積の期待値＝（１／６）×（９／２）＋（１／６）×２＋（１／６）×（１／２）
　　　　　　＝７／６

問題の意味が違ってたら済みません。

回答No.1

Kules

高校数学IIを解いているものとして解説します。

I.まあ極値がどうのこうのって言ってるんですからとりあえず増減表描きましょうか。
　微分する→=0となる実数xを求める→増減表描く
　で、増減表を書いて単調増加や単調減少にならない時（途中でいったんf'(x)=0になるけどそれ以外の場所ではずっとプラスかずっとマイナスみたいなやつも含む）極値を持ちます。αの値によってはxが実数解を持たなかったりするので、その辺りを判断基準にしてαが取るべき値を考えます。αはサイコロの目なので1～6の自然数ですね。

II.3次関数=0の実数解がただ1つになるのは、・単調増加、または単調減少である　・極値を持つが、極小値が正である、または極大値が負である。
　の2パターンです。やっぱり増減表ですね。

III.CとLの共有点が１つのときは面積は0とするって書かれているんで、まず面積0になる時を考えましょうか。（期待値の計算にわざわざ組み込まなくてもいいので楽ですし）
　「CとLの共有点のx座標を求める」＝「f(x)-(x+1)=0を満たす実数解を求める」なので、IIと同じくf(x)-(x+1)=0を満たす実数解がただ1つである時を考えます。やっぱり増減表です。
　共有点が2つの時は囲まれた部分は1箇所、共有点が3つの時は囲まれた部分は2箇所です。それぞれの積分区間は共有点のx座標なので、符号に気をつけながら積分してやればよさそうですね。

参考になれば幸いです。