接線の公式の導き方の教科書の説明＞＿＜？

質問

放物線ｙ＾２－４ｐｘ　(1)上の１点（ｘ１、ｙ１）における接線の式はｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ１＋ｘ）
（ただしｙ１＾２＝４ｐｘ１）　(2)
｛導き方｝ｙ１≠０のとき、曲線上の点（ｘ１、ｙ１）を通る直線は、傾きをｍとして
ｙ＝ｍ（ｘ－ｘ１）＋ｙ１　　(3)
とあらわれる。ただし（ｘ１、ｙ１）は(1)上の点であるから　ｙ１＾２＝４ｐｘ１　(4)
ここで(1)と(3)の共有点のｘ座標が満たす方程式を作ると

ｍ＾２ｘ＾２－２｛ｍ（ｍｘ１－ｙ１）＋２ｐ｝ｘ＋（ｍｘ１－ｙ１）＾２＝０

よって、(3)ｙ＝ｍ（ｘ－ｘ１）＋ｙ１は(1)放物線ｙ＾２＝４ｐｘの接線であるから、この方程式の判別式は０であり、その時の重複解がｘ１である。よって

ｘ１＝m(mx1-y)+2p±√0　/　ｍ＾２
（この分数が出来ません＞＿＜！！）

これからｍ＝2p/y1　これを(3)ｙ＝ｍ（ｘ－ｘ１＋ｙ１
に当てはめて、ｙ＝（２ｐ/ｙ１）（ｘ－ｘ１）＋ｙ１

∴ｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ－ｘ１）＋ｙ１＾２

ここへ、(4)ｙ１＾２－４ｐｘ１を用いればよい
ｙ１＝０の時は接線は直線ｘ＝０であり、(2)の特別な場合である。

質問です！！
一つ目は、放物線のｙ＾２＝４ｐｘ(1)に直線ｙ＝ｍ（ｘ－ｘ１）＋ｙ１(3)の式を代入した後に出来た長い式から、ｘ１＝。。。　とｍ＾２が分母になっている長い分数の式にする方法がわかりません＞＿＜教科書では省いているので、自分で頑張っても出来ません＞＿＜誰か教えてください！！

二つ目の質問は、ｍの値が求まって、直線の式(3)に当てはめた後、y1y=2p(x-x1)+y1＾2と得られたまでは解ったのですけど、そのあと、「ここへ(4)を用いればよい」っていう部分が良くわかりません＞＿＜　(4)を用いれば何が良いのですか！？＞＿＜？？？
そしたら、「y1=0の時は接線は直線ｘ＝０であり、(2)の特別な場合である」って書いてあるんですけど、意味が解りません＞＿＜？？？？？？？？？

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

＞放物線ｙ＾２－４ｐｘ　(1)
「放物線ｙ＾２－４ｐｘ＝０　(1)」 のまちがいです。

＞ｍ＾２ｘ＾２－２｛ｍ（ｍｘ１－ｙ１）＋２ｐ｝ｘ＋（ｍｘ１－ｙ１）＾２＝０　(5)
この式を(5)とします。式の意味を考えます。この式は、(3)を(1)に代入して作りました。だから、(3)と(1)の交点を表わします。また、代入でｙが消去されました。ですから、交点のｘ座標だけを表わす方程式です。
放物線と直線の交点は最大２個あります。(5)に実数解が２個あれば、交点は２個あります。
しかし、直線が放物線の接線になるときは、２つの交点が一致しなければなりません。つまり、接線の場合、(5)の解は重解でなければなりません。

(5)の解のうちの１つは　ｘ１　です。これは簡単に確かめられます。ですから、もう一つの解がｘ１になれば、直線(3)は放物線(1)の接線です。

＞この方程式の判別式は０であり
重解となるためには、(5)の判別式が０であることが必要十分です。
判別式とは、二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 （a≠0)に対して、D = b^2 - 4ac です。
ところが、(5)の判別式を求めようとすると、非常に複雑な式になります。
しかし、この場合、解の１つがｘ１であることがわかっているので、つぎのようにします。
------------------------------
まず、二次方程式の解の公式

　ax^2 + bx + c = 0 （a≠0)に対して　x = ｛ -b ± √(b^2 - 4ac)｝/ (2a)

を思い出してください。ここで、解の１つが x = s だとしましょう。もし、判別式b^2 - 4acが０であれば、上の解の公式は、

　s = (-b ± √0)/(2a) つまり、s = -b/(2a)

となります。逆に、s = -b/(2a)が成立したとしましょう。すると、上の解の公式から、

　-b/(2a) = ｛ -b ± √(b^2 - 4ac)｝/ (2a)

a≠0　ですから、-b = -b ± √(b^2 - 4ac)、つまりb^2 - 4ac = 0 が示せます。
--------------------------------

上のことを、(5)に適用しましょう。まず、
　a = ｍ＾２
　b = －２｛ｍ（ｍｘ１－ｙ１）＋２ｐ｝
です。

解の１つがｘ１であることがわかっているので、

　ｘ１＝ -b/(2a) ⇔　(5)は重解を持つ

つまり、

　ｘ１＝　｛ｍ（ｍｘ１－ｙ１）＋２ｐ｝／（ｍ＾２） ⇔　(5)は重解を持つ

となります。

＞ｘ１＝m(mx1-y)+2p±√0　/　ｍ＾２
＞（この分数が出来ません＞＿＜！！）

上に書いたことからわかるように、式中のyはｙ１のまちがいです。

＞∴ｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ－ｘ１）＋ｙ１＾２
＞ここへ、(4)ｙ１＾２－４ｐｘ１を用いればよい
＞(4)を用いれば何が良いのですか

「(4)ｙ１＾２－４ｐｘ１＝０」のまちがいです。
ｙ１＾２＝４ｐｘ１　ですから、右辺のｙ１＾２を４ｐｘ１で置き換えます。

すると、
ｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ－ｘ１）＋４ｐｘ１
⇔ｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ＋ｘ１）

となります。

＞y1=0の時は接線は直線ｘ＝０であり、(2)の特別な場合である

ｙ１＝０だとすると、ｍの値が求められなくなるので、最初にｙ１＝０を除外して解いたのです。
あとで、ｙ１＝０の場合を考えます。
放物線(1)は原点を通り、原点でｙ軸に接しているので、ｙ１＝０のときには、接点は原点（ｘ１＝０、ｙ１＝０）で、接線はｙ軸そのものです。ｙ軸上ではどこでもｘ＝０です。

ｙ１＝０を除外してもとめた接線の方程式

　ｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ＋ｘ１）

にｘ１＝０、ｙ１＝０、ｘ＝０を代入すると０＝０となって成立します。つまり、ｙ１＝０を除外してもとめた接線の方程式が、ｙ１＝０のときにも成立することを確かめたわけです。

お礼

ありがとうございました！！、あと、式の中はｙ１でした。ごめんなさい私が教科書を見まちがえてました！！

回答No.4

noname#44630

最後の部分の補足です。分母に入っているため、y1が０でないときと、０であるときで場合分けが必要であるというのは大丈夫でしょうか？０を割ることはできても、０で割ることは出来ません。よって分母に０が入ることはありえません。これからも、変数が分母に入ったとき、分母の変数が０でないということがはっきりしているとき（条件から明らかな場合など）以外は場合分けをしてください。

お礼

ありがとうございました！！分母をゼロにしないのは大丈夫です！お返事ありがとうございました！！

回答No.3

noname#44630

一つ目の質問の答えは、これは解の公式を用いてX１を出しているのです。解の公式はいけるでしょうか？
aｘ＾2+bx+c=0の解はx={-b±√(b＾2-4ac)}/2aです。特にbが２の倍数のとき、x={-b"±√(b"＾2-ac)}/aただしb"=b/2とする。今は２の倍数となっているので後者を使っています。b＾2-4acは判別式D、b"＾2-acはD/4に対応するので０です。

二つ目の質問の答えのは、（ｘ１、ｙ１）は(1)上の点であるから　ｙ１＾２＝４ｐｘ１　(4)という式が成り立ちました。そこにｘ１、ｙ１で表された式を代入しているのです。最後のところは、微分をしたときにyが分母に入っているため、y1が０でないときと、０であるときで場合分けが必要なのです。

お礼

ありがとうございました！教えてもらったとおりに解の公式で解いてみたら出来ました！！　ありがとうございました！！

回答No.2

oyaoya65

＞1つ目
＞ｘ１＝。。。　とｍ＾２が分母になっている長い分数の式にする方法がわかりません＞＿＜
＞ｘ１＝m(mx1-y)+2p±√0　/　ｍ＾２
単に2次方程式の重根の場合の根の公式そのものですね。

x1＝{m(mx1-y1)+2p}/m^2 のミスですね。

＞（この分数が出来ません＞＿＜！！）
この分数の意味が分かりません。
何ができないのですか？
＞これからｍ＝2p/y1
この式を導出できないということですか？
そうなら、
x1・m^2＝{m(mx1-y1)+2p}
0=-my1+2p
から出てくると思いますが？

＞二つ目
＞(4)を用いれば何が良いのですか！？＞＿＜？
＞ｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ－ｘ１）＋ｙ１＾２
この式の最後の項に(4)を代入すれば
＞接線の式はｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ１＋ｘ）
が導出できるということです。

＞「y1=0の時は接線は直線ｘ＝０であり、(2)の特別な場合である」って書いてあるんですけど、意味が解りません＞＿＜？
(3)式はm=無限大の場合、つまりx=Kというy軸に平行な直線を表せませんので、x=Kが接線となる場合(K=0)を考えていませんのでx=0の接線の場合も解に含めないといけないという意味ですね。
これは(2)式に含めれられるということです。
(2)の接線の式
ｙ１ｙ＝２ｐ（ｘ１＋ｘ）
で接点の座標(x1,y1)=(0,0)を代入すれば
接線の式はx=0となりますよ。

お礼

”式はm=無限大の場合”のところの説明ありがとうございました！！数学は色々な考え方があって、また色々な回答に導くための見方があるので、すごく今回実感しました。私もいつか、こんな風に数学の質問をされて、答えられるような大人になりたいと思いました！！！！！いつも、返事書いてくれて、ありがとうございすます！！