微積の問題

質問

f(x)= -3x^2 ＋ 12x ＋ 9とし、
曲線y=f(x)上の点(1、f(1))における接線Lとする。

(1)Lの方程式を求めよ。

(2)Lと傾きが等しく、原点を通る直線をｍとする。
このとき、ｍと曲線y=f(x)とで囲まれた図形の面積を求めよ。

(1)の問題はy=6x＋12と出したんですが
間違えてるかもしれないので
(1)もお願いします!

よろしくお願いします(>_<)

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
L:y=f(x)=-3x^2 ＋12x＋9
y'=f'(x)=-6x+12
y=f(x)上の点(1、f(1))における接線Lの傾きは
　f'(1)=-6+12=6
f(1)=-3+12+9=18
接線Lは接点(1,18)を通り、傾きf'(1)=6の直線であるから
　y=6(x-1)+18 ⇒ y=6x+12

したがって
>(1)の問題はy=6x＋12と出したんですが
>間違えてるかもしれないので
>(1)もお願いします!
これで合ってますね。

(2)
Lの傾きは6であるから、Lと傾きが等しく、原点を通る直線mの方程式は
　y=6x
mと曲線y=f(x)との交点の座標は
　6x=-3x^2 ＋12x＋9
を解いて
　x^2-2x-3=0 ⇒ (x-3)(x+1)=0 ∴x=-1,3
　∴交点の座標(x,y)=(-1,-6), (3,18)

ｍと曲線y=f(x)とで囲まれた図形の面積S
S=∫[-1→3](-3x^2+12x+9-6x)dx
=∫[-1→3](-3x^2+6x+9)dx
=[-x^3 +3x^2+9x][-1→3]
=-27+27+27-(1+3-9)
=32

お礼

ありがとうございます(^o^)

回答No.1

shintaro-2

（１）について

接線なので、点（１、ｆ（１））を通り、同じ点で傾きがｆ’（１）となります。
従って、お考えのもので良いと思います。

（２）について
面積は∫｛f(x)-m｝dx　で積分区間がｍとｆ（ｘ）との交点から交点までです。

補足

回答ありがとうございます♪
途中の計算式だけでいいので
もう少し詳しく教えてもらいたいのですが(>_<)