次の条件を全て満たす関数をf(x)で表して下さい。

質問

（あ） f(x)はxの四次の整式。
（い） 曲線y=f(x)は二点 O(0, 0), A(1, 1/12)を通る。
（う） 曲線y=f(x)の、点Oにおける接線はx軸で、点Aにおける接線はx軸に平行。このとき、点(p, f(p))におけるy=f(x)の接線の傾きが、f(x)の選び方に無関係な定数となるようにpの値を定めよ。ただし、p≠0, 1。

回答No.2

think2nd

４次の整式をf(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e (a≠0)とおくと　条件（い）からf(0)=e=0,　f'(0)=d=0,
f'(1)=4a+3b+2c=0・・・(1)　f(1)=a+b+c=1/12　∴12a+12b+12c=1・・・(2)
が成り立つから4次の整式はf(x)=ax^3+bx^2+cxである。
点(p,f(p))を接点とするf(x)の接線の傾きをm(p)とおくとm(p)=f'(p)=4ap^3+3bp^2+2cx・・・(3)
の値がa,b,cの値に依存しないpを探せばよい。a≠0を利用して(1)(2)からb、cをaで表すと。
　　　　b=(1-12a)/6　　　((1)×4-(2)より)
　　　　c=(4a+1)/4　　　　((1)×6-(2))　を(3)に代入すると
m(p)=(4p^3-6p^2+2p)a+(p^2+p)/2　がaの値いかんにかかわらず定数になるには
　　　aの係数が常に0であればよい。
すなわち4p^3-6p^2+2p=0より
　　　p(2p-1)(p-1)=0　p≠0, 1だから
　　　∴p=1/2

お礼

お礼の言葉を述べるのが大変遅くなって申し訳ございませんでした。
簡潔明瞭な説明をしていただいたので、非常に助かりました。
BAは優劣付け難いので敢えて選ばないことに致しましたので、ご了承ください。
ご縁がありましたら、次回もよろしくお願いします。

回答No.1

DJ-Potato

(あ)
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

(い)
y = f(x)　が(0,0)を通る
0 = f(0) = e

y = f(x)　が(1,1/12)を通る
1/12 = f(1) = a + b + c + d

(う)
f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
0 = f'(0) = d
0 = f'(1) = 4a + 3b + 2c

4a + 3b + 2c = 0
3a + 3b + 3c = 1/4
a - c = -1/4
a = c - 1/4

4a + 3b + 2c = 0
4a + 4b + 4c = 1/3
b + 2c = 1/3
b = -2c + 1/3

f'(p) = p(4ap^2 + 3bp + 2c)
= p{4(c-1/4)p^2 - 3(2c - 1/3)p + 2c}
= p{4cp^2 - p^2 - 6cp + p + 2c}
= p{2c(2p^2 - 3p + 1) - p^2 + p}
= p{2c(2p-1)(p-1) - p(p-1)}
= p(p-1){2c(2p-1) - p}

よってp = 0 , p-1 = 0 , 2p-1 = 0の時、f'(p)はa,b,cの値に関わらない定数となる。

p ≠ 0,1のため
p = 1/2

でどうでしょう？

お礼

お礼の言葉を述べるのが大変遅くなって申し訳ございませんでした。
分かりやすく説明していただいたので、非常に助かりました。
BAは優劣付け難いので敢えて選ばないことに致しましたので、ご了承ください。
ご縁がありましたら、次回もよろしくお願いします。