放物線 接線

質問

Pを放物線y=x^2上の動点とする
Pにおけるこの放物線の接線とこの接線へ点A(0、a)から下ろした垂線との交点が常にx軸上にあるようにaの値を定めよ

接線の接点を(α、α^2)とおくと接線の方程式はy=2α(x-α)+α^2となって、この方程式の傾きが、Aから接線へ下ろした垂線の方程式の傾きとかけると-1になることと、x軸上に交点があるから連立方程式の解がy=0となることは分かるのですが、それをすることができません
解き方を教えてください

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>接線の接点を(α、α^2)とおくと接線の方程式はy=2α(x-α)+α^2となって、
整理して
　y=2αx-α^2　…(1)

>Aから接線へ下ろした垂線の方程式の傾きとかけると-1になること
垂線の方程式は
　y=-x/(2α)+a …(2)

(1),(2)の交点は
　x=2(α^2+a)α/(4α^2 +1)　...(3)
　y=(4a-1)α^2/(4α^2 +1)　...(4)

>x軸上に交点があるから連立方程式の解がy=0となることは分かる

交点のy座標がαの値にかかわらず常にゼロであることから,(4)より
　4a-1=0 ∴a=1/4 ←答え
このとき(3),(4)より交点は
　(α/2,0)

補足

垂線の方程式が
　y=-x/(2α)+a
となるのはなぜですか？

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足の質問の回答

>垂線の方程式が
>　y=-x/(2α)+a
>となるのはなぜですか？

>接線の方程式はy=2α(x-α)+α^2となって、この方程式の傾き
接線の傾きは 2α

>が、Aから接線へ下ろした垂線の方程式の傾き
垂線の傾きをmとおくと

>とかけると-1になること

2α×m=-1 より　m=-1/(2α)

垂線はA(0,a)を通り、傾きがm=-1/(2α) だから
垂線の方程式は
　y-a = {-1/(2α)}(x-0)
となるだろ！
つまり
　y=-{x/(2α)} +a
となる。

お分りになりましたか？

お礼

単純なことなのにわざわざすみません、ありがとうございました