sinを使った方程式

質問

方程式
sinx＋sin2X＋sin3X=0を解く問題
ただし、0≦x<2π

これは、どうやって求めるかわかりません
加法定理をつかうのですか？

(sinx＋sin3X)＋sin2X=0としてまとめるのかな？
さっぱりわかりません。。
？？？

回答No.5

seven_triton

複素数平面を知ってますか？知っているのなら，もっと簡単な解法があります。
z=cosx+isinx とおいて，z+z^2+z^3を計算してみてください。もちろんド・モアブルの定理を使って。そしたらその虚部がsinx＋sin2x＋sin3x ですね。それが0になってほしいのだから，つまりz+z^2+z^3が実数であればいいわけです。一般に，複素数が実数であるための条件は，自分とその共役複素数とが等しいということなので，それを使って計算すればいいです。途中で，|z|=1，つまりzとzの共役複素数をかけると1になる，という条件を使います。結局，答は＃４さんの結果で正解です。

回答No.4

mmky

回答指針も皆さんからでていますね。
更なる参考がいりそうですね。
親切すぎかな？
sinx＋sin2x＋sin3x=0を解く問題
ですかね。
以下の公式ぐらいがいるよね。
sin(2x)=2sin(x)cos(x),
cos(2x)=cos＾2x-sin＾2(x)
1=cos＾2x+sin＾2(x)

sin3x=sin(2x+x)=sin(2x)cos(x)+cos(2x)sin(x)
=2sin(x)cos＾2(x)+cos＾2(x)sin(x)-sin＾3(x)
=sinx(3cos＾2(x)-sin＾2(x))
=sinx(3cos＾2(x)-1+cos＾2(x))
=sinx(4cos＾2(x)-1)
あってるかな。
と整理すれば、
sinx＋sin2x＋sin3x=sinx(1+2cos(x)+4cos＾2(x)-1)
=2sinx(cos(x)+cos＾2(x))
=2sin(x)*cos(x)(1+2cos(x))

これは、場合分けで考える必要がありますね。
0≦x<2π でしたね。
sin(x)=0　の時 x=0、π
cos(x)=0 の時 x=π/2、3π/2
1+2cos(x)=0
cos(x)=-1/2, の時 x=2π/3, 4π/3

だからまとめると、
x=0,π/2, 3π/2, 2π/3, π, 4π/3
なんかになりそうですね。
解はいっぱいありますね。
取りこぼしが無いか要確認ですね。
参考までにね。

回答No.3

oshiete_goo

＞加法定理をつかうのですか？
広い意味ではそうですね．

実際はいろいろな方針がありそうです．
最低できるべきは
＜１＞
sin2X,sin3Xを２倍角(単に倍角ともいう）の公式，３倍角の公式で書きかえると
sinX(くくった残りの式)＝０
sinX(cosXのみの式)＝０
とできる．

＜２＞
＞(sinx＋sin3X)＋sin2X=0としてまとめるのかな？

和積の公式より　sinx＋sin3X＝2sin2XcosX なので
（←加法定理から作れるように）
(与式)⇔sin2X(2cosX＋1)＝０

こちらの方がいいかも．

他にも親切な方が教えてくださるでしょう．

回答No.2

shota_TK

No1の者ですが，教科書とかありませんか？
加法定理は下記などに出ています．
http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/sankakukansuu/ka%82%88outeiri.html
http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/kahou.html

sin2X=sin(X+X)にすれば，加法定理が使えますよね．
同じように，sin3X=sin(2X+X)にして加法定理を使います．2Xが出てきたら，またX+Xにします．

そうすると，全てsinX, cosXの式になるはずです．
ぼくの計算があっていれば，共通項が消去できて，とても簡単な式になりますよ．

回答No.1

shota_TK

加法定理を使うんだと思いますよ．
sin2Xもsin3Xも加法定理でsinXとcosXの式に変換できますよね．
そうすると，うまく整理できると思います．

補足

どうやるのですか？
加法定理は、すこししかわからなくて
おしえてください