三角関数の方程式

質問

「0≦x＜2πの範囲で、以下の方程式の解を求めよ。
(1)　sin^3x+cos^3x=1
(2)　sin^3x+cos^3x+sinx=2」
という問題について質問です。
(2)は(1)の結果を利用して解く問題ですか？

回答No.3

betanm

（1）を解くとき、3乗足す3乗の因数分解をしたと思いますが、
それと、（2）は形が同じなので、同じ考え方ができると思います。

（1）と（2）の示す、Xという文字が同じかどうかは、問題文だけでは読み取れませんので、（1）と（2）は別だと考えると、式の形式を流用して式変形をしていく問題だと思います。
もし、（1）と（2）のXの値が同じであるなら、（1）式をそのまま（2）式に代入すると簡単になりますね。

回答No.2

ATZ1229tkt

普通は(1)の結果を利用して(2)を解くことはできません。
しかし左辺が1以下であることを示した上で1になるxを求めたので
あれば(2)もすぐに解けます。

f(x)=(sinx)^3+(cosx)^3とおく。
f(x)≦1である。f(x)=1となるxはx=0,π/2に限る。
これが証明できたとします。

そうするとf(x)≦1であり、もちろんsinx≦1です。
だからf(x)+sinx=2となるのはf(x)=1,sinx=1のときに限ります。
f(x)=1となるのはx=0,π/2のときであり、このうちsinx=1も満たすのは
x=π/2だけなので(2)の解はx=π/2となります。

f272さんの回答はf(x)≦1を示しています。
だからこの形で(2)を解くことは可能です。

「f(x)≦1であり等号が成り立つのはx=0,π/2のときに限る」
あまり上手ではないですが一応証明しておきます。

f'(x)=3(sinx)^2･cosx+3(cosx)^2･(-sinx)=3sinx･cosx(sinx-cosx)
f'(x)=0となるのはsinx=0 or cosx=0 ,or sinx=cosxのとき
これを満たすxは0,π/4,π/2,3π/4,π,5π/4,3π/2,7π/4
それぞれのケースでf(x)は1,√2/2,1,0,-1,-√2/2,-1,0である。
f(x)は0≦x≦2πで微分可能であるから上記のx以外の値で
最大値をとることはない。∴f(x)≦1
f(x)=1となるのはx=0,π/2のみ

回答No.1

f272

sinxをsと，cosxをcと略記する。
(1)
s^3+c^3=1
(s+c)(s^2-sc+c^2)=1
(s+c)(1-sc)=1
2乗して(s^2+2sc+c^2)(1-sc)^2=1
(1+2sc)(1-sc)^2=1
ここでsc=tとすればt=sinx*cosx=(1/2)sin(2x)だから-1/2≦t≦1/2
f(t)=(1+2t)(1-t)^2とすれば，-1/2≦t≦1/2の範囲では0≦f(t)≦1となってf(t)=1となるのはt=0のときだけです。よって
2t=sin(2x)=0から2x=0，π，2π，3πとなり，x=0，π/2，π，3π/2
このうち与式を満たすのはx=0，π/2
(2)
s^3+c^3+s=2
s^3+c^3=2-sとして左辺を(1)と同様に変形していく。
(1+2sc)(1-sc)^2=(2-s)^2
この左辺は(1)で述べたように0以上1以下であり，|s|≦1であることから右辺は1以上9以下である。したがってsc=0かつs=1と言うことが分かり，cosx=0です。これからx=π/2，3π/2となるが，実際に与式を満たすのはx=π/2