常微分方程式の初期値問題 u'= -(2+sin(sin(u))u,

質問

常微分方程式の初期値問題　u'= -(2+sin(sin(u))u, u(0)=1　の解は次の不等式を満たすことを示せ：　0<u(x)<=exp(-x) (x>=0)　ただし、解の一意存在性定理（リプシッツ条件）を使ってよい。

上の問題を教えてください、お願いします。

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

あまり自信はありませんが・・・

u(x)の逆関数x(u)を考える。
条件より、
dx/du=-1/(2+sin(sin(u)))u, x(1)=0

2-1<=2+sin(sin(u))<=2+1　なので、

u>0において、 -1/u<=dx/du<=-1/3u

したがって、0<u<=1なるuに対し、u～1までの積分値について
∫_u^1 {-1/u}du<=∫_u^1 {dx/du}du<=∫_u^1 {-1/3u}du
∴　ln(u)<=-x(u)<=ln(u)/3<=0
∴　-3x(u)<=ln(u)<=-x(u)<=0
∴　e^(-3x)<=u(x)<=e^(-x)<=1
∴　0<u(x)<=e^(-x) (ただしx>=0)

お礼

ありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.1

noname#152421

カッコの数が合いません。
u'= -(2+sin(sin(u))u)
ですか？

仮にそうだとすると、任意の正数xに対して、

u'(x)
≦|u'(x)+2|-2
≦|-sin(sin(u(x)))u|-2
≦|u|-2
≦exp(-x)-2
<-1

なので、特にx>１に対して

u(x)
=u(0)+∫u'(t)dt（積分範囲は0からx）
≦u(0)+∫(-1)dt
≦1+(-x)
<0

となり、矛盾。

つまり、質問文のどこかが間違っているようにみえます。

お礼

ご解答ありがとうございました。

補足

u'= -(2+sin(sin(u)))u
でした。すみません