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三角関数の合成の方程式
【0≦ｘ＜2πのとき、sinx+cosx=1/√2を解け。】という問題です。 合成して、 sinx+cosx=√2sin(x+π/4)、 方程式は √2sin(x+π/4)=1/√2 sin(x+π/4)=1/2 0≦ｘ＜2πから、π/4≦x+π/4＜9/4π …教科書を見ながら解いて、ここまでは理解できたのですが、 この先どうやってｘの値を出せばいいのか分かりません。 分かりやすく教えて下さい。宜しくお願いします！
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質問者が選んだベストアンサー
ここまでくれば後すこしです☆ ｘ+（π/4）＝θと置きましょう すると、 sinθ＝1/2 これを満たすシータは？？ π/6、5π/6ですね☆ これを元にｘを計算すればOKです。 θ＝π/6の時 ｘ+（π/4）＝π/6 ｘ＝（π/6）-（π/4）＝-π/12 0≦ｘ＜2πよりこの解は不適...と思いきや -π/12は23π/12と同じなので※23π/12の方を採用☆ ※２π足す（一周しても同じ角度だから） θ＝5π/6の時 ｘ+（π/4）＝5π/6 ｘ＝（5π/6）-（π/4）＝7π/12 よって答えは ｘ＝7π/12、23π/12 どうでしょう？質問あれば書いてくださいね☆
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- Sun rise たかひろ（@yasoukyoku415）
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＞-π/12が範囲外なのは、マイナスがついているから…ということで良いのでしょうか？ そうです☆(*^-^)ニコ ｘの範囲は「0≦ｘ＜2π」なので、これを考慮すると「-π/12」という答えは範囲外となってしまいます＞＜ ０度と360度が同じ角度とみなせる考え方で -π/12とこたえずに「23π/12」と答えないとNGなのです＞＜ あらわしている物は同じでも、表現を変えないとだめなんです＞＜
お礼
何度もご回答ありがとうございました！ 本当に助かりました。 来週からテストなので頑張ってきます(｀・ω・´)
- Sun rise たかひろ（@yasoukyoku415）
- ベストアンサー率62% (15/24)
yasoukyoku415です。補足いたします。 23π/12という解に疑問を持つかも知れないと思ったので 補足説明します。 θ＝π/6の時を考えたとき、答えが-π/12になりましたね。 これが範囲外ならπ/6から一周した（2π足した）13π/6でも計算してみるんです。 θ＝13π/6で計算すると答えは「ｘ＝23π/12」とでます。 しかし、そもそも「θ＝13π/6」ってやってるけど、θの変域的にOKなにか？？って悩みますよね？ 大丈夫です「π/4≦θ＜9/4π」の後ろの「9/4π」の分母を12に通分してみてください。 9π/4＝27π/12 ね？ 13π/6＝26π/12でギリギリセーフでしょ？？ このようにｘの変域が 「0≦ｘ＜2π」と１周バッチリある場合は必ず答えが2つあります。 コサインの場合も同じです。 うまく数値を操って２つの答えを答案に書きましょう☆
お礼
ありがとうございます。正直なところ23π/12にちょっと納得しきれない気分でいました＾＾； -π/12が範囲外なのは、マイナスがついているから…ということで良いのでしょうか？
- tomokoich
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sin(x+π/4)=1/2まで導き出せているので sin(x+π/4)=1/2になる角度x+π/4をπ/4≦x+π/4≦9/4πから出せばいいと思いますx+π/4=5/6π x=7/12π
お礼
回答ありがとうございます！ ｘはsin=5/6πのときもあるんですよね。。 また自分で計算してみます！
- gohtraw
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ｘ＋π／４＝Θ とでもおいてπ/4≦Θ＜9/4πの範囲でsin(Θ)=1/2となるΘを求め、そこからπ／４を引けばそれがｘです。
お礼
回答有難うございます！ θに置き換えると考えやすいですね これからそうして考えてみるようにします(・ω・´)
惜しい！答えまでもうすぐのところまで来ています。 sinθ = 1/2 になるθは？と聞かれたら答えられますか？ θ = π/6, 5π/6ですね。 つまり、x+π/4 = π/6, 5π/6 を解けばいいのです。 π/4≦x+π/4＜9/4πですから、実際には、x+π/4 = 5π/6 を解けば答えが得られます。
お礼
お早い回答ありがとうございます！ sinが1/2になる数を考えればよかったのですね(゜ ゜*) 何とか答えが出せてすっきりしました！
お礼
回答ありがとうございます！ とても丁寧なご説明で助かりましたm(_ _ *)m