三角関数

質問

三角関数の問題で解けないものがあります。
教えていただけるとありがたいです。

問題；関数cosX+2√3sin(X+π/3)での最大値と最小値を答えろ。

というのもです。

2√3sin(X+π/3)を加法定理で崩して
cosX+2√3sin(X+π/3)=√3sinX+4cosX=√19(X+θ)

と、合成まではもっていくことができました。
しかし、ここからどのようにして最大値と最小値を求めたらよいのでしょうか。

解法と最大値と最小値の解を教えていただけるとありがたいです。
ご回答おねがいします。

回答No.4

noname#103103 · ベストアンサー

√19sin(x+α)　但しsinα＝4/√19 cosα=√3/√19
よって 0<α<π/2

0≦x≦π/2 α≦x+α≦π/2+α　

x+α=θとして
最大値はθ=90となるとき
最小値はθ=αかθ=π/2+α
θ=αのとき　√19×sinα=4
θ=π/2+αのとき　x=π/2
与式=√3×sinπ/2+4cosπ/2=√3
4>√3

回答No.7

ja1iif

=4*cosx+√3*sinx=√19*sin(x+θ)
ここでx=0を入れるとθ＝asin(4/√19)でθは60～70度になるので式は20～30度でピークになり、ピーク値は√19、最小値はx=π/2を入れて√3　です。

回答No.6

info22

#2です。
A#2の補足質問について

>√19sin(X+θ)ですね。

> Xには0<=X<=π/2という制限がありました。
> 最大値√13、最小値√3となっていました。
この場合のXの範囲制限では
sinθ=4/√19、cosθ=√(3/19)なので θ=arctan(4/√3)
arctan(4/√3)<=<X+θ<=π/2+arctan(4/√3)
この範囲を単位円上に図示したものを添付します。
最小値はX+θ=π/2+arctan(4/√3)つまり
X=π/2[rad}の時になります。
このとき　cosX+2√3sin(X+π/3)=2√3sin(π/2+π/3)=√3
とでます。
また
X+θ=π/2で最大値は√19sin(X+θ)=√19をとります。
このときはX=π/2+arctan(4/√3)[rad]　です。

回答No.5

spring135

t=sinxとおくと0≦t≦1
f=√3sinx+4cosx=√t+4(1-t^2)~0.5
の増減を調べればよい。
t=0でf=4, t=1でf=√3
fをｔで微分して極値を求めるとt=√3/√19のときf=√19
fの微分は0≦t＜√3/√19でプラス、√3/√19＜t≦1でマイナス
つまり、tが0から1に増加するに伴って、fは4から増加して最大値√19に達した後、√3まで減少する。増減表を書き、グラフの概要を把握すること。
ＱＥＤ

回答No.3

mister_moonlight

0≦x≦π/2という条件なら、少し面倒になる。

合成しても良いが、ちょっと考えにくいところがある。
√3sinx+4cosx＝√19*sin（x＋α）とここまでは良いが、αは鋭角だから、α≦x＋α≦π/2＋α　より、sin（x＋α）≦1は良いが、sin（x＋α）≧？の　？　が求め難い。勿論出来るが、もつと簡単に行こう。

sinθ＝x、cosθ＝yとすると、x＾2＋y＾2＝1、0≦x≦1、0≦y≦1　‥‥(1)　の範囲で（つまり、単位円の第1象限）、直線：4y＝-√3*x＋k ‥‥(2)　でkの最大値と最小値を考える事になる。
この直線(2)は、傾きが　-√3/4である事に注意すると、(2)が(1)に接する時に最大、点（1、0）を通る時に最小になる。

具体的な計算は自分でやって。最大値の値は、点と直線との距離の公式を使えば簡単だろう。

お礼

ありがとうございます。

線形計画法の使用で解をだすのですね。

回答No.2

info22

>√19(X+θ)
√19sin(X+θ)
のミスですね。

-1≦sin(X+θ)≦1
なので
Xとりうる範囲が実数領域、または0≦X＜2πなら
最大値√19, 最小値 -√19
となりますね。

補足

ごめなさい。
√19sin(X+θ)ですね。

それと、
Xには0<=X<=π/2という制限がありました。

また、途中式など解法がなく、最大値と最小値の解だけ答えが載っていたのですが、最大値√13、最小値√3となっていました。

どうしてこの答えが出てくるのでしょうか？

回答No.1

R_Earl

> cosX+2√3sin(X+π/3)=√3sinX+4cosX=√19(X+θ)

最後は(√19)sin(X+θ)でしょうか？

> しかし、ここからどのようにして最大値と最小値を求めたらよいのでしょうか。

角度に制限が無いなら、sinの最小値は-1、最大値は1ですよね。

補足

申し訳ありません。
Xについての制限がありました。

0<=X<=π/2の時の最大値と最小値をもとめよという問題でした。