直線に対する対称点の求め方

質問

【問題】「xyz空間内にA(1,2,3),B(2,3,2),C(1,4,-1)を取る。点Cの直線ABに関する対称点Dの座標を求めよ。」

この問題は正射影を利用して解けるみたいなのですが、どのようにすればいいのか分かりません。

http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa5131555.html

正射影を使った解き方を方針だけでもよいので教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

＞正射影を用いた解法はないでしょうか？
正射影というか、もっと狭く内積を用いた解法ということですかね。

内積を使うと、＃１の点Ｔは、
AT↑ = (AB↑・AC↑) / |AB|^2 × AB↑　… (1)
と直接求まります。
したがって、対称な点Ｄは、
AD↑ = AC↑ + 2(AT↑- AC↑)
　= 2(AB↑・AC↑) / |AB|^2 × AB↑ - AC↑　… (2)
です。

(1)なんですが、説明するのは図がないとなかなか難しいんですが、
1. AB方向の単位ベクトルb↑は、b↑ = AB↑/|AB| と書ける
2. AT↑ = |AC|cosθ×b↑ と書ける。ただし、θはAB↑とAC↑とのなす角
3. AB↑・AC↑ = |AB||AC|cosθ　（内積の性質）
なんかを考えると出てきます。

お礼

ご回答どうもありがとうございます！

点Aを始点に考えればよかったのですね。
大変よく分かりました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

#1 の T が正射影なんだけど....

お礼

説明不足ですみません。
内積を使った正射影公式の利用での解法です。

回答No.1

naniwacchi

直線ABは、2点C, Dの垂直二等分線になります。

直線ABはベクトルの形で与えることになるので（方向ベクトルを考えることからも）、
ベクトルで考えてみましょう。

直線AB上の点Tは、OT↑= OA↑+ t* AB↑（tは実数）と表されます。
直線ABと直線CDは直交するので、その交点を求めます。
CT↑⊥AB↑より、tの値そして CT↑が求まります。

CT= DTであることから、CT↑= TD↑となります。
よって、求めるDの座標は OD↑= OC↑+ 2* CTとして求まります。

補足

ご回答どうもありがとうございます。

正射影を用いた解法はないでしょうか？
よろしくお願い致します。