線対称に移動した点

質問

「線対称に移動した点を求めよ。」という問題をよく見るのですが、いつも高校の教科書に載っている「対称移動した点と元の点とを結んだ線分の中点が直線上にある」と「直線同士が垂直に交わる」という条件をつかっています。
　もっとはやく解く方法はないですか?たとえば法線ベクトルや、点と直線との距離などで。
　文型高校レベルで数(3)Cはわかりません。
　はやくなくても解き方を教えてもらえるとありがたいです。
【説明に使えるなら点P（２,1）をy=2x+1に関して対称移動した点を求めよ。という問題があったとして説明していただいても結構です。】

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

ご質問の趣旨が「やり方論」なので、myやり方を具体的に書きます。

直線y=2x+1をl1とし、
Pからl1におろした垂線をl2とします。

l2: y=(-1/2)x+2

l1とl2の交点をHとします。

H:(2/5, 9/5)
ベクトルPH=(-8/5, 4/5)

求める点をP'とすると、ベクトルPH=ベクトルHP'だから

P':(-6/5, 13/5)

はじめにP'の座標を文字で置いて・・・とかするのは計算がしんどいので、自分ではやりません。

お礼

ありがとうございました。僕の望んでいた解答でした。

回答No.4

Sage-y

こんばんは。

速く解きたいと言うことですが、私は知りません（すいません）。
ですので普通の解き方をひとつ。それなら出来ると言うことでしたらこの先はとばしてください。

普通のやり方も重要だと思います。まあテストや試験があるのなら簡単に求められる公式が欲しいのでしょうが…。そんなに難しくも時間が掛かったりもしないと思いますよ。
こんな無駄話には興味ないですよね。さっさと問題にいきます。

挙げていただいた例題でやってみます。
与えられた直線をf(x)と書かせてもらいます。

“移動した先の点と点P(2,1)を結ぶと与えられた直線と直行する”というのは知っているのですね。“直行する二直線の傾きの積はー１になる”という性質もよろしいでしょうか。
ここで点Pと求める点を結んでできる直線を
g(x)=y=ax+b
とします（直線：一次関数がy=ax+bで表せるのは大丈夫かと思います。ばかにしているわけではありませんが念のため）。
これとf(x)は直行するので
2*a=-1
a=-1/2
よって
g(x)=y=-1/2x+b
とわかります。
これは点P(2,1)を通るので、この式にx=2,y=1を代入して
1=-1/2*2+b
b=1+1=2
よって
g(x)=y=-1/2x+2
とわかりました。
次にf(x)とg(x)との交点を求めます（関数の交点はそれぞれの式を連立させると求められます。一次関数どうしなら解くことができます）
{ y=2x+1
y=-1/2x+2　　←連立にしたつもりです
これらを解いて
x=2/5
y=9/5
よって
交点(2/5,9/5)
とわかりました。
【求めたい点とその座標を
　 Q(s,t)
　とし、点Pと点Qとの中点を求めます（中点の求め方　　はそれぞれのx,y座標の平均をとります＝それぞれの　　x,y座標どうしを足して２で割ります）。
　すると中点の座標は
　 x座標：(2+s)/2
　 y座標：(1+t)/2
　と表せます。
　線対称したということは点Pから直線f(x)までのキョリと点Qから直線f(x)までのキョリは等しいので、点Pと点Qの中点は直線f(x)と直線g(x)の交点と等しくなります。よって
　(2+s)/2=2/5
　 s=-6/5
　(1+t)/2=9/5
　 t=13/5
　となり、求めたい点Qは
　Q(-6/5,13/5)
　となります。】

【】の部分は、
《点Pから交点までx軸方向に-8/5,y軸方向に4/5移動しているのでさらに交点から同じだけ移動すれば(s:2/5-8/5=-6/5,t=9/5+4/5=13/5)線対称に移動した点になる》とやってもいいと思いますよ。

まとめますと（いらないって？）
１．直行する直線を求める
２．二直線の交点を求める
３．求めたい点を文字でおいて、与えられた点との中点を求め、それと２．の交点から求める（もしくは《　》のようにやる）
という流れです。簡単でしょ？

長々とすいません。
がんばってください。

お礼

よくかみ砕いた説明ありがとうございました。僕の知ってる方法とは少し違ったのですが、詳しい説明でよくわかりました。

回答No.3

lonely_saboten

すみません。-2倍するのを忘れました

よって、求める点は
(2,1)+4/√5*p=(2,1)+4/5(2,-1)=(18/5,1/5)

ではなくて
よって、求める点は
(2,1)-4/√5*2*p=(2,1)-8/5(2,-1)=(-6/5,13/5)
でした。

回答No.2

lonely_saboten

y=2x+1 を変形して 2x-y+1=0
法線ベクトルの単位ベクトルpは
p = (2,-1)/√(2^2+(-1)^2)=(2,-1)/√5

(2,1)と2x-y+1=0との距離は
|2*2-1+1|/√(2^2+(-1)^2)=4/√5

よって、求める点は
(2,1)+4/√5*p=(2,1)+4/5(2,-1)=(18/5,1/5)

こういう風に求めればいいのでしょうか・・・？

お礼

ちょっと難しかったですが、わかりました。ありがとうございました。