数学の質問！ 直線と中点

質問

〔問題〕
ｘｙｚ空間においてＰ（1,0,3）、Ｑ（3,2,1）がある。
この時、直線ＰＱを軸にして、Ｘ（4,0,5）を180度回転したとき、移動後の点の座標を求めよ。

２直線の中点が一致すればいいのですが、どうも合いません。
どこがおかしいんでしょうか？

＞＞P（1，0，3），Q（3，2，1），X（4，0，5）

求める点の座標をY（a，b，c）

(1+3)/2=(4+a)/2

(0+2)/2=(0+b)/2

(3+1)/2=(5+c)/2

よって、

a=0

b=2

c=-1

Y（0，2，-1）

で→ＰＱ・→ＸＹ＝0　となるはずなんですが、ならないんです。。。

教えてください！！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>どこがおかしいんでしょうか？

線分PQの中点は、線分XYの中点とは何の関係もありませんよ。
したがって、
せっかく立てた以下の関係式は
>(1+3)/2=(4+a)/2
>(0+2)/2=(0+b)/2
>(3+1)/2=(5+c)/2

>よって、
>a=0
>b=2
>c=-1
>Y（0，2，-1）
3次元の図を描いて貼り付けますので各点の位置関係を確認してください。
図中点M'は線分PQの中点です。一方、XYの中点は点Mです。
点MはXから直線PQに下ろした垂線の足になります。これは線分PQの中点とは一致していないことが図から明らかでしょう。このように3次元のイメージを描いて考えないと、式を立てても間違いに気がつかないですね。連立方程式の解き方がいくら正しいかチェックしても、連立方程式そのものが間違っていたら何もならないですね。

連立方程式は、直線PQの方程式
(1+2s,0+2s,3-2s) …(1)（s媒介変数）
であることから線分XYの中点Mが直線PQ上にあることから
>(1+3)/2=(4+a)/2
1+2s=(4+a)/2 …(2)
>(0+2)/2=(0+b)/2
2s=(0+b)/2 …(3)
>(3+1)/2=(5+c)/2
3-2s=(5+c)/2 …(4)

また、直線PQと直線XYが直交することから
それぞれの方向ベクトルの内積=0となることから
(2,2,-2)・(a-4,b,c-5)=2(a-4)+2b-2(c-5)=0 …(5)

(2)～(5)を連立にして解けば
a=-4/3,b=2/3,c=1/3,s=1/6
と得られます。

なお、s=1/6を(1)に代入すれば線分XYの中点かつ垂線の足Mの座標が出てきます。

添付図を見ながら式の意味をよく理解し、また連立方程式を解いて図と見比べて見てください。

お礼

図までつけていただいて、有難うございます。
理解しました。

回答No.3

alice_44

A No.1 の言う通り。
とりあえず、「直線の中点」なんてあり得ない
ことから、考え直してみたらいい。

お礼

わかりました。有難うございます。

回答No.1

rnakamra

>２直線の中点が一致すればいいのですが、どうも合いません。

違う。
XYの中点が直線PQ上にあり、XYがPQに垂直になる、これが条件です。
XYの中点がPQの中点と一致する必要はありません。(普通は一致しない)

直線PQの方程式をだし、XYの中点がその方程式を満たすこと。
→PQ・→XY=0
この二つの式からYの座標を求めます。

お礼

わかりました。
ありがとうございます。