直線に対する対称点の求め方（正射影）

質問

【問題】「直線l:5x+2y+1に対するl上にない点P(p,q)の対称点Rを求めよ。」

【私の考え方】
「直線lは点A(-1,2)を通る。線分PRと直線lとの交点をHとする。
直線lの法線ベクトルの一つはn↑＝(5,2)なので、
PH↑は『{(AP↑・ｎ↑)/|n↑|^2}ｎ↑』・・・(1)
か又は
『ー{(AP↑・ｎ↑)/|n↑|^2}ｎ↑』・・・(2)
だと思うのですが、どちらかに絞ることができません。

先日教えていただいた方法では
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5536137.html
答えが一つに絞れるので答えが2つになったり、場合分けをしたりすることはないと思うのですが・・・。

PH↑さえ出せればRの座標は容易なのですが、
PH↑が(1)と(2)のどちらになるか分かる方、よろしくお願い致します。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

解法を指定されてないなら、ベクトルなんか不要。

Ｒ（α、β）、5x+2y+1＝0　‥‥(1)とする。
【1】ＰＲの中点が(1)上にあるから、5*（p＋α）/2＋2*（q＋β）/2＋1＝0　‥‥(2)
【2】直線(1)と直線ＰＲが直交するから、（-5/2）*{（β-q）/（α-p）}＝-1　‥‥(3)

後は、(2)と(3)を連立してαとβについて解くだけ。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

解答は出せるのですが、
正射影の公式を使うとなぜ2通りの答えが出てしまうのかで悩んでおります。

よろしくお願い致します。

補足

すみません、正射影の公式を確認しましたら
『ー{(AP↑・ｎ↑)/|n↑|^2}ｎ↑』・・・(2)
はなく、(1)のみですべてがあらわせることが分かりました。

お騒がせしてすみません。
どうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

AH が n に垂直であることと AH = AP + tn から t が計算できるはず.

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

解答は出せるのですが、正射影ベクトルの公式を使うと
なぜ2通りの答えが出てしまうのかという点で悩んでおります。
正射影の公式を用いた解法で正解を出したいのですが・・・

よろしくお願い致します。

補足

すみません、正射影の公式を確認しましたら
『ー{(AP↑・ｎ↑)/|n↑|^2}ｎ↑』・・・(2)
はなく、(1)のみですべてがあらわせることが分かりました。

お騒がせしてすみません。
どうもありがとうございました。