円の方程式と定点通過の問題が解けません

質問

円　x^2+y^2+2ax+4ay-10a-25=0をＣとする。
(1)　円Ｃの中心の座標は(1)であり、円Ｃはaの値によらず２定点Ａ、Ｂを通る。

(2) 線分ＡＢが円Ｃの直径であるとき、a=(2)である。このとき、x軸が円Ｃによって切り取られる線分の長さは(3)であり、点(1,-8)を通る円Ｃの接線のうち傾きが負であるものの方程式y=(4)である。

(1)～(4)とＡ，Ｂの座標を教えてください。
自分が解いたら(1)は(-a,-2a)　Ａ(5,0) B(-3,4)となりました。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

中心とＡ，Ｂの座標までは先のご質問に回答がついているので省略します。
（２）円の中心は直径の二等分点です。
（３）ｘ軸と円の交点を考えます。ｙ＝０とおいて・・・
（４）接線の式をｙ＝ｐｘ＋ｑとおいて
　　　・この接線が点（１、－８）を通る
　　　・円の中心から接線までの距離は円の半径に等しい
　　　を連立させてｐ、ｑを求め、ｐ＜０になる方を選べばＯＫ。

お礼

回答ありがとうございます。少しわかりました。（２）は-1
（３）は８とでましたが、（３）がよくわかりませんでした。「円の中心から接線までの距離は円の半径に等しい」という式はどうやってたてるのですか？

回答No.4

gohtraw

＃１です。「円の中心から接線までの距離は円の半径に等しい」は点と直線の距離の公式を使います。

http://homepage3.nifty.com/fum_s/math2-1/math2-1-1.html

お礼

回答ありがとうございました。時間はかかりましたが解けました。

回答No.3

debut

最後の接線ですが、
接点を(t,u)とすれば、接点において接線と半径は垂直なので
接線の傾き×直交する半径の傾き＝－１より
{(u+8)/(t-1)}*{(u-2)/(t-1)}=-1、つまり-(u-2)(u+8)=(t-1)^2・・(1)
(t,u)は円(x-1)^2+(y-2)^2=20上の点なので(t-1)^2+(u-2)^2=20・・(2)
(1)を(2)に代入して計算すれば、u=0
つまり、接点は円とｘ軸との交点(-3,0),(5,0)ということです。
よって接線は・・・

お礼

わざわざ二回もありがとうございました。時間はかかりましたが解けました。

回答No.2

info22

前問で回答した者です。

(1)は前の質問と重複しているので前問を引用するようにして下さい。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5480874.html
>自分が解いたら(1)は(-a,-2a)、　Ａ(5,0) B(-3,4)となりました。
これは前問の回答の答です。
なお、A,Bの座標の答は、座標を入替えたものも正解です。

(2)
AB^2=4*5(a^2+2a+5)=(5+3)^2+4^2=80
a^2+2a+5=4
(a+1)^2=0 ∴a=-1
円C:(x-1)^2+(y-2)^2=20
y=0として
(x-1)^2=20-2^2=16
x=1±4=-3,5
切取られるX軸の長さL=5-(-3)=8

接線を
y=m(x-1)-8=mx-(m+8)　(m<0)　…(■)
とおき,円Cの式に代入
(x-1)^2+(mx-m-10)^2=16
接線の条件からxの2次方程式の判別式D=0
m<0より　m=-(√21)/2
接線の式（■）に代入すれば
y=-{(√21)(x-1)/2}-8

自分で計算をフローして確認下さい。

お礼

回答ありがとうございました。時間はかかりましたが、なんとか解けました。