円 共通接線

質問

円x^2+y^2=1/4と円x^2+(y-2)^2=1/16の共通接線の方程式を求めよ

円を順にA、Bとし、A上の点を(a、b)、B上の点を(c、d)とすると
Aの接線の方程式は
y={-a(x-a)/b}+b
(別の書き方にすると4by+4ax=1)
Bの接線の方程式は
y={-c(x-c)/(d-2)}+d
(別の書き方にすると(d-2)y+cx=2d-(63/16))

そしてそれぞれの傾き-a/bと-c/(d-2)が同じというのは分かったのですが、ここからどうすればよいでしょうか？

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

これだと文字が多すぎてわけがわからなくなります。

簡単な図を描いて位置関係を整理すると、共通接線はｙ軸に平行になることがないので、
接線の方程式をｙ＝ｍｘ+ｎとおくことができます。（未知数２つで済みます）⇒なので条件が2つあれば未知数を決めることが出来ると予測。

これをｍｘ-ｙ+ｎ＝0と変形して、また点と直線の距離の公式で処理します。

＞円x^2+y^2=1/4
中心（0,0）半径1/2・・・※1

＞円x^2+(y-2)^2=1/16
中心（0,2）半径1/4・・・※2

両方の円と接するということは、※1の中心と接線との距離が半径に等しい、かつ※2の中心と接線との距離が半径に等しいということであるから、以下の２つの式が出来ます。

｜ｍ*0-0+ｎ｜/√｛ｍ＾2+（-1）＾2｝＝1/2・・・※3

｜ｍ*0-2+ｎ｜/√｛ｍ＾2+（-1）＾2｝＝1/4・・・※4

※3より4ｂ＾2＝ｍ＾2+1
※4より16（-2+ｎ）＾2＝ｍ＾2+1

この連立方程式を解くと、
ｎ＝4,4/3

ｎ＝4のときｍ＝±√65
ｎ＝4/3のときｍ＝√73/3

よって、求める共通接戦の方程式は
ｙ＝±√65ｘ+4
ｙ＝±√73ｘ/3+4/3

計算は自分で確認してください。

お礼

別の方法があったんですね
ありがとうございました

回答No.2

suko22

質問者さんの考え方でもできるので、
別解書いておきますね。未知数は2つです。片方だけ接線の方程式を利用します。

＞Aの接線の方程式は
＞y={-a(x-a)/b}+b
＞(別の書き方にすると4by+4ax=1)

これを使います。

この接線が円Ｂと接すると考えます。
円Ｂと4ｂｙ+4aｘ＝1が接する条件は、中心（0.2）と直線4ｂy+4ax＝1との距離が半径1/4に等しい。
これを式にすると、点と直線の距離の公式より
｜8ｂ-1｜/√（16ｂ＾2+16a＾2）＝1/4
4｜8ｂ-1｜＝√（16ｂ＾2+16a＾2）
4｜8ｂ-1｜＝4√（ｂ＾2+a＾2）
｜8ｂ-1｜＝√（ｂ＾2+a＾2）

両辺を２乗すると
（8ｂ＾2-1）＾2＝ｂ＾2+a＾2
整理すると、
a＾2＝63ｂ＾2-16ｂ+1・・・※1

ここで、点（a,b）は円ｘ＾2+ｙ＾2＝1/4上の点であるから、
a＾2+ｂ＾2＝1/4・・・※2

※1と※2の連立方程式を解くと、
ｂ＝1/16、3/16

ｂ＝1/16のときa＝±√63/16
ｂ＝3/16のときa＝±√55/16

これを元の式4ｂｙ+4ax＝1に戻せば４つ答えが出ます。

Ｐ．Ｓ．＃１の回答で誤植、及び計算ミスがありましたので訂正します。すみません。
＞※3より4ｂ＾2＝ｍ＾2+1←ココｂではなくｎでした。正しくは、4ｎ＾2＝ｍ＾2+1
＞※4より16（-2+ｎ）＾2＝ｍ＾2+1

＞この連立方程式を解くと、
＞ｎ＝4,4/3

＞ｎ＝4のときｍ＝±√65
＞ｎ＝4/3のときｍ＝√73/3←ココ、正しくは√55/3

＞よって、求める共通接戦の方程式は
＞ｙ＝±√65ｘ+4
＞ｙ＝±√73ｘ/3+4/3←ココ、正しくはｙ＝±√55ｘ/3+4/3

お礼

私の方法でもできるんですね
分かりました ありがとうございました