微分 2曲線が接する問題

質問

2曲線、C1：ｙ＝x^2＋2/aｘ＋4　、C2：ｙ＝bx^2＋５が一点Aで接するとき、（a>0、b≠１）
・ｂをａであらわせ
・接点Aの座標をaを用いてあらわせ。
・接点Aにおける接線が原点を通るときのaの値を求めよ。
・接点Aにおける接線の傾きの最小値を求めよ。

という問題を解いています。
最初からつまづいてしまいました。
一点で交わるというのは、C1=C2で出るのでしょうか？
またそれ以降の問題はどのようにすればいいのでしょうか？
一方的な質問で申し訳ありませんがお答えいただけるとありがたいです。宜しくお願いします。

回答No.3

postro · ベストアンサー

#2です
＞＞求められた（aであらわされた）ｂを使って交わった一点Aの座標が求まる。
＞この過程をもう少し教えていただけないでしょうか？

交点を求める２次方程式は
(1-b)x^2+(2/a)x-1=0
これに　b=1/a^2 +1　を代入すると
(-1/a^2)x^2+(2/a)x-1=0
両辺に　-a^2(≠0) をかけて整理すると
(x-a)^2=0
∴x=a （つまり点Aのx座標はaということ)
これをC1：ｙ＝x^2＋(2/a)ｘ＋4　に代入して
y=a^2+6
ゆえにAの座標は　A(a,a^2+6)

お礼

遅れて申し訳ありません。
とてもわかりやすく助かりました。
ありがとうございました

回答No.2

postro

ヒントと答えです
＞一点で交わるというのは、C1=C2で出るのでしょうか？
それでOKです。交点の座標を求める場合、２式を連立させますが、その要領です。
２次方程式になるはずです。一点で交わるのだから、この判別式が０になる。
b=1/a^2 +1
求められた（aであらわされた）ｂを使って交わった一点Aの座標が求まる。
A(a,a^2+6)
A(a,a^2+6)における接線の傾きは微分して求める。
傾き＝2a+2/a
接線の方程式は　y=(2a+2/a)(x-a)+a^2+6
これが原点（０，０）を通る。そしてa>0
a=2
傾き＝2a+2/a の最小値は相加平均と相乗平均の関係を使う。
最小値＝４

補足

回答ありがとうございます。
初歩的な質問で申し訳ありませんが、

＞求められた（aであらわされた）ｂを使って交わった一点Aの座標が求まる。

この過程をもう少し教えていただけないでしょうか？

回答No.1

springside

２つの曲線が接するというのは、

(1) 共有点を持つ。
(2) その共有点での両曲線の接線の傾きが一致する。

の２つが両方とも成立することです。

というわけで、接点Aのx座標をpとすると、

p^2+2/ap+4 = bp^2+5　←上記(1)
2p-2/ap^2 = 2bp　　　←上記(2)

となるので、これを出発点にして解けばいいです。
（例えば、下の方の式をp=(aの式)にして、上の式に代入すればaとbの関係式が出ます。）