位相の個数について（位相の基礎中の基礎に関する質問です）

質問

位相の勉強をしているのですが、具体例が少なくてよくわかりません。

下の演習の答えを知りたいのです。教科書には具体的な解説が殆ど載っていないので解き方がわかりません。

問：X＝｛a,b} 　かつaとｂは異なるとき、X上に考えられる位相はいくつか？
答えは　３　だそうですが、具体的にどのような位相なのでしょうか？

また

問：X＝｛a,b,c} 　かつaとbとcは異なるとき、　X上に考えられる位相はいくつか？
答えは　２９　だそうですが、具体的にどのような位相なのでしょうか？
（全部書かなくてもいいので、せめて考え方だけでもお願いします）

回答No.3

noname#99366 · ベストアンサー

hoakasさんが調べた資料って，X={a,b} のときは3で，X={a,b,c} のときは29だそうですが，これは同じ資料でしょうか？
別々の資料であれば，#2でのrinkunさんのご指摘のように，同相な位相空間をまとめちゃってるんですね．
でも，同じ資料だと，整合性がない気がします．回答しておきながら，私はちゃんと計算したことがないので，#1の参考URL(Googleの検索結果)の2番めのリンク先をそのまま引用しちゃいますが，X={a,b,c} のときは9種類29個の位相のとり方があるそうです．だから，もし同相な位相空間をまとめてしまうなら，2番めの問の答は9になると思うんですが...．
hoakasさんの調べた資料について，補足してもらえますか？

お礼

私の調べたのは、資料というか教科書です。

佛教大学という大学の「論証・集合・位相入門」というかなり初歩的な教科書にのっていた問題なのですが、結局一番目の問題では　４　が、二番目では　２９　が正解で、一番目は教科書自体のミス、ということで落ち着きました。

お二方とも、返事が遅れちゃってすみませんでした。

回答ありがとうございました。

回答No.2

rinkun

X＝{a,b}の位相が3種類になるという話ですが、自己同型で同相にできる位相は同一視しているのでは?
具体的には、{{},{a},{a,b}}と{{},{b},{a,b}}はaとbを入替える変換により変換できます。従って、これらを同じ位相とみなすと。

X＝{a,b,c}の場合での数え方で検証してみてください。

お礼

なるほど、です。

それは考えませんでした。試してみます。

回答ありがとうございます。

回答No.1

noname#99366

> 答えは　３　だそうですが，
答は 4 ですよね？

X={a,b} の場合は，Xの部分集合たちは，
{}, {a}, {b}, {a,b}
の4個ですから，位相の候補となる集合族は16(=2^4)個考えられ，その1つ1つを定義に従って確認すれば大丈夫です．特に，位相の定義のうち，空集合{}と全集合{a,b}が含まれるという条件を考えれば，
{a}, {b}
の2個の包含のバリエーションになるので，丹念に調べるのは4(=2^(4-2))個で十分ですね．

同様に，X={a,b,c} の場合は，
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}
の6個の包含のバリエーションになるので，64(=2^(8-2))個を丹念に調べる必要があります．位相の定義に慣れるためにも，1つ1つ丁寧に定義が満たされるか調べてみるのがよいかと思います．

参考URL：

http://www.google.co.jp/search?q=doubleton+topology

お礼

なんだか　私の調べた資料だと最初の問の答えが　３　になっていたので、わけがわからなくなってしまったのですが、答えが　４　なら確かに辻褄が合います。

二番目の問も確かめてみようと思います。

回答ありがとうございました。