位相幾何学（？）

質問

とあるときにこの問題を教えてもらったんですが、答えが全く分からなくて困ってます。
位相幾何学だ、と言ってました。

たとえば、ある立体を平面に展開して
　　ＡＢ
　　↑↑
Ｃ→□□→Ｃ
Ｄ→□□→Ｄ
　　↑↑
　　ＡＢ
のようになれば、これはドーナッツ型になる、とのことです。

ここまではわかって、次の問題ですが
　　ＡＢ
　　↑↑
Ｄ←□□→Ｃ
Ａ→□□←Ｂ
　　↑↑
　　ＤＣ
だそうです。
これはどんな立体を展開したものなのか、全くわからず、何時間も使ってしまって困ってます…。

回答No.2

wloop · ベストアンサー

辺の向きを反時計周りが正方向になるようにとりそれをたとえば
Ａ、Ｂ、Ｃ等とあらわします。
時計回りの向きを持つ場合は
Ａ^(-1)、Ｂ^(-1)、Ｃ^(-1)等とあらわします。

一番上の左にあるのＡからはじまって反時計回りに
辺がＡＤＡＤＣＢＣＢの順にならんでるとします。
（すなわち時計周りの向きの辺は無い。）また
一番上の左にある辺Ａの右端を１、左端を２、後順に反時計回りに
八角形の頂点に順に１～８番まで番号をつけていきます。

２１８
３　７
４５６

上のような順に番号がつけられると思います。

結論からいうとこれはクラインの壷に等しくなります。

以下手順です。
与えられた図形を変形していきます。
頂点１と頂点３を結ぶ直線で図形をきります。
頂点１から頂点３に向かう辺をＸとします（向きは時計回りです）。
切り取った図形の辺Ａ（頂点１，２）と切り取られた
図形の辺Ａ（頂点３，４）とを向きが同じになるよう重ねます。
重ね合わせた後の図形は
ＸＸＤ^(-1)ＤＣＢＣＢとなります。
Ｄ^(-1)Ｄはちょうどその真ん中で折りたたむようにすると
ＸＸＣＢＣＢと変形できます。

こんどはこの変形された図形を上の番号で言うと
頂点５と頂点７を結ぶ直線で図形をきります。
頂点５から頂点７に向かう辺をＹとします（向きは時計回りです）
切り取った図形の辺Ｃ（頂点５，６）と切り取られた
図形の辺Ｃ（頂点７，８）とを向きが同じになるよう重ねます。
重ね合わせた後の図形は
ＸＸＹＹＢ^(-1)Ｂとなります。
Ｂ^(-1)Ｂはちょうどその真ん中で折りたたむようにすると
ＸＸＹＹと変形できます。

この図形は同じような変形でクラインの壷（例えばＸＺＸ^(-1)Ｚとあらわせる）
と等しいことが簡単にわかります。

回答No.3

wloop

#2です。訂正です。２箇所あります。
(1)
>頂点１から頂点３に向かう辺をＸとします（向きは時計回りです）。

この文章の「（向きは時計回りです）」を「（向きは反時計回りです）」
に訂正してください。
(2)
>頂点５から頂点７に向かう辺をＹとします（向きは時計回りです）。

この文章「（向きは時計回りです）」を「（向きは反時計回りです）」
に訂正してください。

以上訂正終わりです。

なお、辺の向きを変えると同じ並びでも図形は
かわります。＃２の記号を使うと
ＡＤＡ^(-1)Ｄ^(-1)ＣＢＣ^(-1)Ｂ^(-1)
という辺の向きで並んでいればそれは
二つ穴の開いた浮輪の形になります。
この形はＵＲＬを参考にしてください。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Genus-2_surface

回答No.1

rabbit_cat

下の図のような展開図になるような、立体は不可能だと思います。
表面が連続（切れ目なく）つながっていない。
たとえば、そういう立体ができたとすると、
あるいは、展開図上での上辺（４つある□のうちの上２つの□の上辺を結んだ辺）は、立体上で連続な線じゃないことになってしまいます。もっと言えば、展開図で上辺の中点（ＡとＢとの境界上にある点）は、立体の上で行き先が確定できないです。

もうちょっと数学的な言葉でいうと、
下の展開図のような張り合わせをもつ２次元多様体は存在しません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93